Wie könnte es weitergehen? Prognose mit ARIMA, Automatik und Glättung

Kurz

In der Karte „Wie entwickelt sich ein Wert über die Zeit?“ gibt es unter der Zerlegung den Abschnitt „Wie könnte es weitergehen? (Prognose)“. Ohne Klick wird nichts gerechnet. Zur Wahl stehen die Automatik (Statable schlägt ein ARIMA-Modell vor), ARIMA mit selbst gewählter Ordnung und die exponentielle Glättung (einfach, mit Trend, Holt-Winters additiv oder multiplikativ). Das Ergebnis zeigt zuerst eine Prüfliste, dann das Bild mit dem 80- und dem 95-%-Band, die Prognosetabelle, das Modell, bei der Automatik die fünf besten Modelle und einen Prüfzeitraum.

Wann die Prognose gesperrt ist

• Fehlen Werte in der Reihe, rechnet Statable keine Prognose. Es füllt nichts auf.
• Bei ungleichen Abständen, bei weniger als 20 Werten und wenn alle Werte gleich sind, ebenfalls nicht.
• Die Automatik rechnet bis 600 Werte. Darüber bleiben „ARIMA selbst wählen“ und die Glättung.

Die Wahl

• Horizont: Voreinstellung eine Periode (bei Monaten 12), ohne Saison 5. Höchstens zwei Perioden und höchstens ein Viertel der Reihe, mindestens 1.
• Log-Skala (nur ARIMA, nur bei Werten über 0): Voreinstellung an, wenn die Zerlegung multiplikativ vorschlägt, also die Schwankung mit dem Niveau wächst. Prognose und Grenzen werden zurückgerechnet; die Prognose ist dann ein Median, kein Mittelwert.
• ARIMA selbst wählen: p, q, P und Q von 0 bis 5, d bis 2, D bis 1. Der Saisonteil (P, D, Q) geht nur bei einer Periode von 2 bis 24. Die Konstante gibt es nur bei d + D bis 1 (Mittelwert oder Drift).
• Glättung: Mit Saison nur bei einer Periode ab 2 und mindestens zwei Perioden plus einem Wert; multiplikativ nur bei Werten über 0.

Wie die Automatik wählt

Statable folgt Hyndman und Khandakar (2008). Erst die Zahl der Differenzen: d (0 bis 2) nach dem KPSS-Test (Grenze 0,463), D (0 oder 1) nach der Saisonstärke (Grenze 0,64). Dann rechnet es alle Modelle bis p, q ≤ 2 mit Saison (ohne Saison bis 3), P, Q ≤ 1 und p + q + P + Q ≤ 5, mit und ohne Konstante, und ordnet sie nach AICc. Das erste ist der Vorschlag. Die Tabelle zeigt die fünf besten mit ΔAICc. Bei einer Periode über 24 oder weniger als drei vollen Perioden berücksichtigt die Automatik keine Saison.

Falle: der kleinste AICc ist kein Beweis

Der AICc vergleicht nur die Modelle, die er sieht. Liegt das zweite Modell weniger als 2 darunter (ΔAICc < 2), sind mehrere Modelle etwa gleich gut; dann die Prognosen vergleichen („Dieses Modell rechnen“ in der Tabelle). Bei weniger als 50 Werten ist die Modellwahl unsicher (Box und Jenkins). Beim Vergleich von Modellen mit verschiedenen Differenzen taugt der AICc nicht.

Ergebnis lesen

• Prüfliste: Sie steht vor den Zahlen. Jeder Satz gilt, wenn seine Bedingung zutrifft. Der erste gilt immer: Eine Prognose schreibt die Vergangenheit fort und gilt nur, wenn die Bedingungen gleich bleiben.
• Bild und Tabelle: Linie der Werte, gestrichelt die Prognose, dazu ein 80- und ein 95-%-Band. Die senkrechte Linie steht am letzten Wert. Die Bänder werden mit dem Horizont breiter.
• Residuen: Der Ljung-Box-Test prüft, ob die Fehler des Modells noch zusammenhängen. p < ,05 heißt: Das Modell erfasst nicht das ganze Muster, und die Intervalle sind unzuverlässig.
• Prüfzeitraum: Die letzten Werte (eine Periode, ohne Saison bis 5) werden zurückgehalten und dasselbe Modell wird mit den früheren Werten neu geschätzt. Verglichen wird mit der einfachen Regel (letzter Wert, bei Saison der Wert eine Periode davor). War das Modell nicht besser (RMSE gleich oder größer), ist die Prognose kein Gewinn. Ist die Reihe zu kurz, steht das in der Prüfliste.
• Untere Grenze unter 0 bei nur positiven Werten: Das Modell kennt die Untergrenze 0 nicht. Die Log-Skala vermeidet das.

Voraussetzungen und Grenzen

• Gleiche Abstände, keine Lücken, mindestens 20 Werte. Besser über 50.
• Die Prognose setzt voraus, dass die Bedingungen gleich bleiben: kein Strukturbruch, keine neue Regelung, keine Krise. Das Modell kann das nicht wissen.
• Kalendereffekte (Schaltjahre, Arbeitstage), Feiertage, erklärende Reihen und mehrere Saisons rechnet Statable nicht.
• Die Intervalle der Glättung (HoltWinters) sind eine Näherung, vor allem multiplikativ.

Ergebnis berichten

Für die monatlichen Fluggäste wurde ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] auf der Log-Skala geschätzt (MA 1 = −,402, saisonales MA 1 = −,557; AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, df = 22, p = ,233. Im Prüfzeitraum von 12 Monaten war der RMSE 18,59 gegen 50,71 bei der einfachen Regel. Prognose für den ersten Monat: 450, 95-%-Intervall [419; 484].

Für Fachleute

Alles rechnet R (nur stats, kein Zusatzpaket): arima (Maximum Likelihood), predict für Mittel und Standardfehler, HoltWinters, stl für die Saisonstärke, Box.test. Die Modellwahl entspricht forecast::auto.arima mit stepwise = FALSE und approximation = FALSE: Auf zehn Reihen, je mit und ohne Log, ergaben alle 20 Läufe dasselbe Modell, denselben AICc und dieselbe Punktprognose.

Die Grenzen weichen von forecast absichtlich ab: forecast rechnet σ² mit einer Freiheitsgrad-Korrektur, Statable nimmt stats::predict (σ² aus Maximum Likelihood).

Unterschiede zu SPSS

• Vorzeichen der MA-Koeffizienten: R und Statable schreiben das Modell nach Box und Jenkins; SPSS zeigt MA mit umgekehrtem Vorzeichen (Fluggäste: −,402 und −,557 gegen ,402 und ,558).
• Standardfehler und Grenzen: SPSS schätzt und rechnet die Varianz anders. Beispiel Fluggäste, erster Monat: Statable 419 bis 484, SPSS 419 bis 485. Beispiel Nil, erstes Jahr: 541 bis 1092 gegen 534 bis 1098.
• Startwerte der Glättung: Nil mit einfacher Glättung: Statable α = ,2466 und 805, SPSS α = ,248 und 804.
• Punktprognosen stimmen bis auf Rundung überein (Nil mit ARIMA(1,1,1) ohne Konstante: 816, 836, 840, 842, 842 in beiden).

Quellen

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M.: Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Typische Beispiele

• Anmeldungen zu einem Kurs je Monat: Wie viele sind im nächsten Semester zu erwarten - und war das Modell im Prüfzeitraum besser als „wie im Vorjahr“?
• Jährliche Messwerte ohne Saison (zum Beispiel Pegel): Glättung oder ARIMA ohne Saisonteil, mit dem Prüfzeitraum der letzten fünf Jahre.