Que pourrait-il se passer ensuite ? Prévision avec ARIMA, sélection automatique et lissage

En bref

Dans la fiche « Comment une valeur évolue-t-elle au fil du temps ? », la section « Que pourrait-il se passer ensuite ? (prévision) » se trouve sous la décomposition. Rien n’est calculé sans clic. Vous pouvez choisir la sélection automatique (Statable propose un modèle ARIMA), ARIMA avec un ordre choisi par vous-même et le lissage exponentiel (simple, avec tendance, Holt-Winters additif ou multiplicatif). Le résultat montre d’abord une liste de contrôle, puis le graphique avec les bandes à 80 % et à 95 %, le tableau de prévision, le modèle, avec la sélection automatique les cinq meilleurs modèles, et une période de test.

Quand la prévision est bloquée

• Si des valeurs manquent dans la série, Statable ne calcule pas de prévision. Il ne comble rien.
• Pas avec des intervalles inégaux, pas avec moins de 20 valeurs, ni si toutes les valeurs sont égales.
• La sélection automatique fonctionne jusqu’à 600 valeurs. Au-delà, il reste « Choisir ARIMA soi-même » et le lissage.

Les choix

• Horizon : par défaut une période (12 pour des mois), 5 sans saison. Au plus deux périodes et au plus un quart de la série, au moins 1.
• Échelle logarithmique (ARIMA seulement, seulement pour des valeurs supérieures à 0) : activée par défaut si la décomposition suggère un modèle multiplicatif, c’est-à-dire si la fluctuation croît avec le niveau. La prévision et les limites sont rétrotransformées ; la prévision est alors une médiane, pas une moyenne.
• Choisir ARIMA soi-même : p, q, P et Q de 0 à 5, d jusqu’à 2, D jusqu’à 1. La partie saisonnière (P, D, Q) ne fonctionne qu’avec une période de 2 à 24. La constante n’existe que pour d + D jusqu’à 1 (moyenne ou dérive).
• Lissage : avec une saison seulement pour une période d’au moins 2 et au moins deux périodes plus une valeur ; multiplicatif seulement pour des valeurs supérieures à 0.

Comment la sélection automatique choisit

Statable suit Hyndman et Khandakar (2008). D’abord le nombre de différences : d (0 à 2) par le test KPSS (limite 0,463), D (0 ou 1) par la force saisonnière (limite 0,64). Ensuite il ajuste tous les modèles jusqu’à p, q ≤ 2 avec une saison (jusqu’à 3 sans), P, Q ≤ 1 et p + q + P + Q ≤ 5, avec et sans constante, et les classe par AICc. Le premier est la proposition. Le tableau montre les cinq meilleurs avec ΔAICc. Avec une période supérieure à 24 ou moins de trois périodes complètes, la sélection automatique ignore la saison.

Piège : le plus petit AICc n’est pas une preuve

L’AICc ne compare que les modèles qu’il voit. Si le deuxième modèle est à moins de 2 au-dessus (ΔAICc < 2), plusieurs modèles se valent à peu près ; comparez alors les prévisions (« Calculer ce modèle » dans le tableau). Avec moins de 50 valeurs, le choix du modèle est incertain (Box et Jenkins). L’AICc ne convient pas pour comparer des modèles ayant des différences différentes.

Lire le résultat

• Liste de contrôle : elle précède les chiffres. Chaque phrase s’applique si sa condition est remplie. La première s’applique toujours : une prévision prolonge le passé et ne vaut que si les conditions restent les mêmes.
• Graphique et tableau : courbe des valeurs, prévision en pointillés, avec une bande à 80 % et une bande à 95 %. La ligne verticale se trouve à la dernière valeur. Les bandes s’élargissent avec l’horizon.
• Résidus : le test de Ljung-Box vérifie si les erreurs du modèle sont encore liées entre elles. p < ,05 signifie que le modèle ne capte pas tout le schéma et que les intervalles ne sont pas fiables.
• Période de test : les dernières valeurs (une période, jusqu’à 5 sans saison) sont mises de côté et le même modèle est de nouveau estimé avec les valeurs antérieures. La comparaison se fait avec la règle simple (dernière valeur, avec une saison la valeur d’une période plus tôt). Si le modèle n’a pas été meilleur (RMSE égal ou plus grand), la prévision n’apporte rien. Si la série est trop courte, la liste de contrôle l’indique.
• Limite inférieure sous 0 avec uniquement des valeurs positives : le modèle ne connaît pas la borne inférieure de 0. L’échelle logarithmique l’évite.

Conditions et limites

• Intervalles égaux, pas de lacunes, au moins 20 valeurs. Mieux : plus de 50.
• La prévision suppose que les conditions restent les mêmes : pas de rupture structurelle, pas de nouvelle règle, pas de crise. Le modèle ne peut pas le savoir.
• Statable ne gère pas les effets de calendrier (années bissextiles, jours ouvrables), les jours fériés, les séries explicatives ni plusieurs saisons.
• Les intervalles du lissage (HoltWinters) sont une approximation, surtout en multiplicatif.

Rapporter le résultat

Pour les passagers aériens mensuels, ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] a été estimé sur l’échelle logarithmique (MA 1 = −,402, MA saisonnier 1 = −,557 ; AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, df = 22, p = ,233. Sur la période de test de 12 mois, le RMSE était de 18,59 contre 50,71 pour la règle simple. Prévision pour le premier mois : 450, intervalle à 95 % [419 ; 484].

Pour les spécialistes

Tout est calculé par R (seulement stats, aucun paquet supplémentaire) : arima (maximum de vraisemblance), predict pour la moyenne et l’erreur standard, HoltWinters, stl pour la force saisonnière, Box.test. La sélection du modèle correspond à forecast::auto.arima avec stepwise = FALSE et approximation = FALSE : sur dix séries, chacune avec et sans log, les 20 calculs ont donné le même modèle, le même AICc et la même prévision ponctuelle.

Les limites diffèrent volontairement de forecast : forecast calcule σ² avec une correction des degrés de liberté, Statable utilise stats::predict (σ² par maximum de vraisemblance).

Différences avec SPSS

• Signe des coefficients MA : R et Statable écrivent le modèle selon Box et Jenkins ; SPSS affiche MA avec le signe opposé (passagers aériens : −,402 et −,557 contre ,402 et ,558).
• Erreurs standard et limites : SPSS estime et calcule la variance différemment. Exemple des passagers aériens, premier mois : Statable 419 à 484, SPSS 419 à 485. Exemple Nile, première année : 541 à 1092 contre 534 à 1098.
• Valeurs de départ du lissage : Nile avec lissage simple : Statable α = ,2466 et 805, SPSS α = ,248 et 804.
• Les prévisions ponctuelles concordent à l’arrondi près (Nile avec ARIMA(1,1,1) sans constante : 816, 836, 840, 842, 842 dans les deux cas).

Sources

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M. : Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Exemples typiques

• Inscriptions à un cours par mois : combien en attendre au prochain semestre - et le modèle a-t-il été meilleur sur la période de test que « comme l’an dernier » ?
• Mesures annuelles sans saison (par exemple niveau d’eau) : lissage ou ARIMA sans partie saisonnière, avec les cinq dernières années comme période de test.