Vad kan hända härnäst? Prognos med ARIMA, automatiskt val och utjämning

Kort sagt

I kortet ”Hur utvecklas ett värde över tid?” finns avsnittet ”Vad kan hända härnäst? (prognos)” under uppdelningen. Inget beräknas utan klick. Du kan välja det automatiska valet (Statable föreslår en ARIMA-modell), ARIMA med en ordning du väljer själv och exponentiell utjämning (enkel, med trend, Holt-Winters additiv eller multiplikativ). Resultatet visar först en checklista, sedan diagrammet med 80 %- och 95 %-bandet, prognostabellen, modellen, vid det automatiska valet de fem bästa modellerna, och en testperiod.

När prognosen är blockerad

• Om värden saknas i serien beräknar Statable ingen prognos. Det fyller inte i något.
• Inte vid ojämna intervall, vid färre än 20 värden, och inte heller om alla värden är lika.
• Det automatiska valet fungerar upp till 600 värden. Över det återstår ”Välj ARIMA själv” och utjämning.

Valen

• Horisont: som standard en period (12 för månader), 5 utan säsong. Högst två perioder och högst en fjärdedel av serien, minst 1.
• Logaritmisk skala (bara ARIMA, bara för värden över 0): på som standard om uppdelningen tyder på multiplikativ, det vill säga om svängningen växer med nivån. Prognos och gränser transformeras tillbaka; prognosen är då en median, inte ett medelvärde.
• Välj ARIMA själv: p, q, P och Q från 0 till 5, d upp till 2, D upp till 1. Säsongsdelen (P, D, Q) fungerar bara med en period på 2 till 24. Konstanten finns bara för d + D upp till 1 (medelvärde eller drift).
• Utjämning: med säsong bara vid en period på 2 eller mer och minst två perioder plus ett värde; multiplikativ bara för värden över 0.

Hur det automatiska valet väljer

Statable följer Hyndman och Khandakar (2008). Först antalet differenser: d (0 till 2) med KPSS-testet (gräns 0,463), D (0 eller 1) med säsongsstyrkan (gräns 0,64). Sedan anpassar det alla modeller upp till p, q ≤ 2 med säsong (upp till 3 utan), P, Q ≤ 1 och p + q + P + Q ≤ 5, med och utan konstant, och rangordnar dem efter AICc. Den första är förslaget. Tabellen visar de fem bästa med ΔAICc. Vid en period över 24 eller färre än tre hela perioder bortser det automatiska valet från säsongen.

Fälla: det minsta AICc är inget bevis

AICc jämför bara de modeller den ser. Ligger den andra modellen mindre än 2 över (ΔAICc < 2) är flera modeller ungefär lika bra; jämför då prognoserna (”Beräkna den här modellen” i tabellen). Vid färre än 50 värden är modellvalet osäkert (Box och Jenkins). AICc lämpar sig inte för att jämföra modeller med olika differenser.

Läsa resultatet

• Checklista: den kommer före siffrorna. Varje mening gäller om dess villkor är uppfyllt. Den första gäller alltid: en prognos förlänger det förflutna och gäller bara om villkoren förblir desamma.
• Diagram och tabell: linje för värdena, streckad prognos, med ett 80 %- och ett 95 %-band. Den lodräta linjen står vid sista värdet. Banden vidgas med horisonten.
• Residualer: Ljung-Box-testet kontrollerar om modellens fel fortfarande hänger ihop. p < ,05 betyder: modellen fångar inte hela mönstret, och intervallen är opålitliga.
• Testperiod: de sista värdena (en period, upp till 5 utan säsong) hålls tillbaka och samma modell skattas på nytt med de tidigare värdena. Jämförelsen sker med den enkla regeln (sista värdet, med säsong värdet en period tidigare). Om modellen inte var bättre (RMSE lika eller större) ger prognosen ingen vinst. Om serien är för kort säger checklistan det.
• Nedre gräns under 0 med enbart positiva värden: modellen känner inte till den nedre gränsen 0. Den logaritmiska skalan undviker det.

Förutsättningar och begränsningar

• Lika intervall, inga luckor, minst 20 värden. Bättre över 50.
• Prognosen förutsätter att villkoren förblir desamma: inget strukturbrott, ingen ny regel, ingen kris. Modellen kan inte veta det.
• Statable hanterar inte kalendereffekter (skottår, arbetsdagar), helgdagar, förklarande serier eller flera säsonger.
• Intervallen för utjämningen (HoltWinters) är en approximation, särskilt den multiplikativa.

Redovisa resultatet

För de månatliga flygpassagerarna skattades ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] på den logaritmiska skalan (MA 1 = −,402, säsongs-MA 1 = −,557; AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, df = 22, p = ,233. Under testperioden på 12 månader var RMSE 18,59 mot 50,71 för den enkla regeln. Prognos för första månaden: 450, 95 %-intervall [419; 484].

För specialister

Allt beräknas av R (bara stats, inget extra paket): arima (maximum likelihood), predict för medelvärde och standardfel, HoltWinters, stl för säsongsstyrkan, Box.test. Modellvalet motsvarar forecast::auto.arima med stepwise = FALSE och approximation = FALSE: på tio serier, var och en med och utan log, gav alla 20 körningar samma modell, samma AICc och samma punktprognos.

Gränserna skiljer sig medvetet från forecast: forecast beräknar σ² med en korrektion för frihetsgrader, Statable använder stats::predict (σ² enligt maximum likelihood).

Skillnader mot SPSS

• Tecknet på MA-koefficienterna: R och Statable skriver modellen enligt Box och Jenkins; SPSS visar MA med motsatt tecken (flygpassagerare: −,402 och −,557 mot ,402 och ,558).
• Standardfel och gränser: SPSS skattar och beräknar variansen på ett annat sätt. Exempel flygpassagerare, första månaden: Statable 419 till 484, SPSS 419 till 485. Exempel Nile, första året: 541 till 1092 mot 534 till 1098.
• Startvärden för utjämningen: Nile med enkel utjämning: Statable α = ,2466 och 805, SPSS α = ,248 och 804.
• Punktprognoserna stämmer överens bortsett från avrundning (Nile med ARIMA(1,1,1) utan konstant: 816, 836, 840, 842, 842 i båda).

Källor

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M.: Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Typiska exempel

• Anmälningar till en kurs per månad: hur många kan man vänta sig nästa termin - och var modellen bättre under testperioden än ”samma som förra året”?
• Årliga mätningar utan säsong (till exempel vattenstånd): utjämning eller ARIMA utan säsongsdel, med de fem sista åren som testperiod.