Co może się stać dalej? Prognoza z ARIMA, wyborem automatycznym i wygładzaniem

W skrócie

W karcie „Jak wartość zmienia się w czasie?” pod dekompozycją znajduje się sekcja „Co może się stać dalej? (prognoza)”. Bez kliknięcia nic nie jest obliczane. Możesz wybrać wybór automatyczny (Statable proponuje model ARIMA), ARIMA z rzędem wybranym samodzielnie oraz wygładzanie wykładnicze (proste, z trendem, Holt-Winters addytywne lub multiplikatywne). Wynik pokazuje najpierw listę kontrolną, potem wykres z pasmem 80% i 95%, tabelę prognozy, model, przy wyborze automatycznym pięć najlepszych modeli oraz okres testowy.

Gdy prognoza jest zablokowana

• Jeśli w szeregu brakuje wartości, Statable nie oblicza prognozy. Niczego nie uzupełnia.
• Nie przy nierównych odstępach, przy mniej niż 20 wartościach, ani gdy wszystkie wartości są równe.
• Wybór automatyczny działa do 600 wartości. Powyżej zostają „Wybierz ARIMA samodzielnie” i wygładzanie.

Wybory

• Horyzont: domyślnie jeden okres (12 dla miesięcy), 5 bez sezonu. Najwyżej dwa okresy i najwyżej jedna czwarta szeregu, co najmniej 1.
• Skala logarytmiczna (tylko ARIMA, tylko dla wartości powyżej 0): domyślnie włączona, jeśli dekompozycja wskazuje na model multiplikatywny, czyli gdy wahania rosną wraz z poziomem. Prognoza i granice są przekształcane z powrotem; prognoza jest wtedy medianą, a nie średnią.
• Wybierz ARIMA samodzielnie: p, q, P i Q od 0 do 5, d do 2, D do 1. Część sezonowa (P, D, Q) działa tylko przy okresie od 2 do 24. Stała istnieje tylko dla d + D do 1 (średnia lub dryf).
• Wygładzanie: z sezonem tylko przy okresie 2 lub więcej i co najmniej dwóch okresach plus jednej wartości; multiplikatywne tylko dla wartości powyżej 0.

Jak wybiera wybór automatyczny

Statable idzie za Hyndmanem i Khandakar (2008). Najpierw liczba różnic: d (0 do 2) testem KPSS (granica 0,463), D (0 lub 1) siłą sezonową (granica 0,64). Potem dopasowuje wszystkie modele do p, q ≤ 2 z sezonem (do 3 bez), P, Q ≤ 1 oraz p + q + P + Q ≤ 5, ze stałą i bez niej, i porządkuje je według AICc. Pierwszy jest propozycją. Tabela pokazuje pięć najlepszych z ΔAICc. Przy okresie powyżej 24 lub mniej niż trzech pełnych okresach wybór automatyczny pomija sezon.

Pułapka: najmniejsze AICc nie jest dowodem

AICc porównuje tylko modele, które widzi. Jeśli drugi model leży mniej niż 2 wyżej (ΔAICc < 2), kilka modeli jest mniej więcej równie dobrych; porównaj wtedy prognozy („Oblicz ten model” w tabeli). Przy mniej niż 50 wartościach wybór modelu jest niepewny (Box i Jenkins). AICc nie nadaje się do porównywania modeli o różnych różnicach.

Odczytywanie wyniku

• Lista kontrolna: stoi przed liczbami. Każde zdanie obowiązuje, jeśli spełniony jest jego warunek. Pierwsze obowiązuje zawsze: prognoza przedłuża przeszłość i ma sens tylko wtedy, gdy warunki pozostaną takie same.
• Wykres i tabela: linia wartości, przerywaną prognoza, z pasmem 80% i 95%. Pionowa linia stoi przy ostatniej wartości. Pasma rozszerzają się wraz z horyzontem.
• Reszty: test Ljung-Box sprawdza, czy błędy modelu są nadal ze sobą powiązane. p < ,05 oznacza: model nie ujmuje całego wzorca, a przedziały są niewiarygodne.
• Okres testowy: ostatnie wartości (jeden okres, do 5 bez sezonu) zostają odłożone, a ten sam model jest szacowany ponownie z wcześniejszymi wartościami. Porównanie następuje z prostą regułą (ostatnia wartość, z sezonem wartość sprzed jednego okresu). Jeśli model nie był lepszy (RMSE równe lub większe), prognoza nie daje zysku. Jeśli szereg jest za krótki, mówi o tym lista kontrolna.
• Dolna granica poniżej 0 przy samych wartościach dodatnich: model nie zna dolnej granicy 0. Skala logarytmiczna temu zapobiega.

Założenia i ograniczenia

• Równe odstępy, bez luk, co najmniej 20 wartości. Lepiej powyżej 50.
• Prognoza zakłada, że warunki pozostaną takie same: bez załamania strukturalnego, bez nowej reguły, bez kryzysu. Model nie może tego wiedzieć.
• Statable nie obsługuje efektów kalendarzowych (lata przestępne, dni robocze), świąt, szeregów objaśniających ani kilku sezonów.
• Przedziały wygładzania (HoltWinters) są przybliżeniem, zwłaszcza multiplikatywne.

Raportowanie wyniku

Dla miesięcznych danych o pasażerach linii lotniczych oszacowano ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] na skali logarytmicznej (MA 1 = −,402, sezonowe MA 1 = −,557; AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, df = 22, p = ,233. W 12-miesięcznym okresie testowym RMSE wynosiło 18,59 wobec 50,71 dla prostej reguły. Prognoza na pierwszy miesiąc: 450, przedział 95% [419; 484].

Dla specjalistów

Wszystko oblicza R (tylko stats, bez dodatkowego pakietu): arima (największa wiarygodność), predict dla średniej i błędu standardowego, HoltWinters, stl dla siły sezonowej, Box.test. Wybór modelu odpowiada forecast::auto.arima z stepwise = FALSE i approximation = FALSE: na dziesięciu szeregach, każdym z logarytmem i bez, wszystkie 20 przebiegów dało ten sam model, to samo AICc i tę samą prognozę punktową.

Granice celowo różnią się od forecast: forecast liczy σ² z korektą stopni swobody, Statable używa stats::predict (σ² metodą największej wiarygodności).

Różnice w stosunku do SPSS

• Znak współczynników MA: R i Statable zapisują model według Boxa i Jenkinsa; SPSS pokazuje MA z przeciwnym znakiem (pasażerowie linii lotniczych: −,402 i −,557 wobec ,402 i ,558).
• Błędy standardowe i granice: SPSS szacuje i liczy wariancję inaczej. Przykład pasażerowie linii lotniczych, pierwszy miesiąc: Statable od 419 do 484, SPSS od 419 do 485. Przykład Nile, pierwszy rok: od 541 do 1092 wobec od 534 do 1098.
• Wartości początkowe wygładzania: Nile z prostym wygładzaniem: Statable α = ,2466 i 805, SPSS α = ,248 i 804.
• Prognozy punktowe zgadzają się z dokładnością do zaokrągleń (Nile z ARIMA(1,1,1) bez stałej: 816, 836, 840, 842, 842 w obu).

Źródła

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M.: Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Typowe przykłady

• Zapisy na kurs na miesiąc: ile można się spodziewać w następnym semestrze - i czy model w okresie testowym był lepszy niż „tak samo jak w zeszłym roku”?
• Pomiary roczne bez sezonu (na przykład poziom wody): wygładzanie lub ARIMA bez części sezonowej, z ostatnimi pięcioma latami jako okresem testowym.