O que poderá acontecer a seguir? Previsão com ARIMA, seleção automática e alisamento

Em resumo

Na ficha «Como evolui um valor ao longo do tempo?» encontra-se a secção «O que poderá acontecer a seguir? (previsão)», por baixo da decomposição. Não se calcula nada sem um clique. Pode escolher a seleção automática (o Statable propõe um modelo ARIMA), o ARIMA com uma ordem que escolhe por si e o alisamento exponencial (simples, com tendência, Holt-Winters aditivo ou multiplicativo). O resultado mostra primeiro uma lista de verificação, depois o gráfico com a banda de 80% e de 95%, a tabela de previsão, o modelo, com a seleção automática os cinco melhores modelos, e um período de teste.

Quando a previsão está bloqueada

• Se faltarem valores na série, o Statable não calcula nenhuma previsão. Não preenche nada.
• Não com intervalos desiguais, com menos de 20 valores, nem se todos os valores forem iguais.
• A seleção automática funciona até 600 valores. Acima disso ficam «Escolher o ARIMA por si» e o alisamento.

As opções

• Horizonte: por omissão um período (12 para meses), 5 sem sazonalidade. No máximo dois períodos e no máximo um quarto da série, pelo menos 1.
• Escala logarítmica (só ARIMA, só para valores superiores a 0): ligada por omissão se a decomposição sugerir um modelo multiplicativo, isto é, se a flutuação aumentar com o nível. A previsão e os limites são retransformados; a previsão é então uma mediana, não uma média.
• Escolher o ARIMA por si: p, q, P e Q de 0 a 5, d até 2, D até 1. A parte sazonal (P, D, Q) só funciona com um período de 2 a 24. A constante só existe para d + D até 1 (média ou deriva).
• Alisamento: com sazonalidade só com um período de 2 ou mais e pelo menos dois períodos mais um valor; multiplicativo só para valores superiores a 0.

Como escolhe a seleção automática

O Statable segue Hyndman e Khandakar (2008). Primeiro o número de diferenças: d (0 a 2) pelo teste KPSS (limite 0,463), D (0 ou 1) pela força sazonal (limite 0,64). Depois ajusta todos os modelos até p, q ≤ 2 com sazonalidade (até 3 sem ela), P, Q ≤ 1 e p + q + P + Q ≤ 5, com e sem constante, e ordena-os por AICc. O primeiro é a proposta. A tabela mostra os cinco melhores com ΔAICc. Com um período superior a 24 ou com menos de três períodos completos, a seleção automática ignora a sazonalidade.

Armadilha: o AICc mais pequeno não é prova

O AICc só compara os modelos que vê. Se o segundo modelo estiver menos de 2 acima (ΔAICc < 2), vários modelos são aproximadamente igualmente bons; compare então as previsões («Calcular este modelo» na tabela). Com menos de 50 valores, a escolha do modelo é incerta (Box e Jenkins). O AICc não serve para comparar modelos com diferenças diferentes.

Ler o resultado

• Lista de verificação: vem antes dos números. Cada frase aplica-se se a sua condição estiver cumprida. A primeira aplica-se sempre: uma previsão prolonga o passado e só vale se as condições se mantiverem.
• Gráfico e tabela: linha dos valores, a tracejado a previsão, com uma banda de 80% e outra de 95%. A linha vertical está no último valor. As bandas alargam-se com o horizonte.
• Resíduos: o teste de Ljung-Box verifica se os erros do modelo continuam relacionados entre si. p < ,05 significa que o modelo não capta todo o padrão e que os intervalos não são fiáveis.
• Período de teste: os últimos valores (um período, até 5 sem sazonalidade) são postos de lado e o mesmo modelo é estimado de novo com os valores anteriores. A comparação é com a regra simples (último valor, com sazonalidade o valor de um período antes). Se o modelo não foi melhor (RMSE igual ou maior), a previsão não traz ganho. Se a série for demasiado curta, a lista de verificação di-lo.
• Limite inferior abaixo de 0 com apenas valores positivos: o modelo não conhece o limite inferior de 0. A escala logarítmica evita isso.

Pressupostos e limites

• Intervalos iguais, sem lacunas, pelo menos 20 valores. Melhor com mais de 50.
• A previsão pressupõe que as condições se mantêm: sem rutura estrutural, sem nova regra, sem crise. O modelo não o pode saber.
• O Statable não trata efeitos de calendário (anos bissextos, dias úteis), feriados, séries explicativas nem várias sazonalidades.
• Os intervalos do alisamento (HoltWinters) são uma aproximação, sobretudo o multiplicativo.

Comunicar o resultado

Para os passageiros aéreos mensais estimou-se o ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] na escala logarítmica (MA 1 = −,402, MA sazonal 1 = −,557; AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, gl = 22, p = ,233. No período de teste de 12 meses, o RMSE foi de 18,59 contra 50,71 da regra simples. Previsão para o primeiro mês: 450, intervalo de 95% [419; 484].

Para especialistas

Tudo é calculado pelo R (só stats, nenhum pacote adicional): arima (máxima verosimilhança), predict para a média e o erro-padrão, HoltWinters, stl para a força sazonal, Box.test. A seleção do modelo corresponde a forecast::auto.arima com stepwise = FALSE e approximation = FALSE: em dez séries, cada uma com e sem logaritmo, as 20 execuções deram o mesmo modelo, o mesmo AICc e a mesma previsão pontual.

Os limites diferem de propósito de forecast: o forecast calcula σ² com uma correção dos graus de liberdade, o Statable usa stats::predict (σ² por máxima verosimilhança).

Diferenças em relação ao SPSS

• Sinal dos coeficientes MA: o R e o Statable escrevem o modelo segundo Box e Jenkins; o SPSS mostra MA com o sinal contrário (passageiros aéreos: −,402 e −,557 contra ,402 e ,558).
• Erros-padrão e limites: o SPSS estima e calcula a variância de outra forma. Exemplo dos passageiros aéreos, primeiro mês: Statable 419 a 484, SPSS 419 a 485. Exemplo Nile, primeiro ano: 541 a 1092 contra 534 a 1098.
• Valores iniciais do alisamento: Nile com alisamento simples: Statable α = ,2466 e 805, SPSS α = ,248 e 804.
• As previsões pontuais coincidem a menos do arredondamento (Nile com ARIMA(1,1,1) sem constante: 816, 836, 840, 842, 842 em ambos).

Fontes

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M.: Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Exemplos típicos

• Inscrições num curso por mês: quantas esperar no próximo semestre - e foi o modelo melhor no período de teste do que «igual ao ano passado»?
• Medições anuais sem sazonalidade (por exemplo, nível da água): alisamento ou ARIMA sem parte sazonal, com os últimos cinco anos como período de teste.