Τι θα μπορούσε να συμβεί στη συνέχεια; Πρόβλεψη με ARIMA, αυτόματη επιλογή και εξομάλυνση

Εν συντομία

Στην κάρτα «Πώς εξελίσσεται μια τιμή στον χρόνο;» υπάρχει η ενότητα «Τι θα μπορούσε να συμβεί στη συνέχεια; (πρόβλεψη)» κάτω από την αποσύνθεση. Χωρίς κλικ δεν υπολογίζεται τίποτα. Μπορείτε να επιλέξετε την αυτόματη επιλογή (το Statable προτείνει ένα μοντέλο ARIMA), το ARIMA με τάξη που επιλέγετε εσείς και την εκθετική εξομάλυνση (απλή, με τάση, Holt-Winters προσθετική ή πολλαπλασιαστική). Το αποτέλεσμα δείχνει πρώτα μια λίστα ελέγχου, έπειτα το διάγραμμα με τη ζώνη 80% και 95%, τον πίνακα πρόβλεψης, το μοντέλο, στην αυτόματη επιλογή τα πέντε καλύτερα μοντέλα, και μια περίοδο ελέγχου.

Όταν η πρόβλεψη είναι αποκλεισμένη

• Αν λείπουν τιμές στη σειρά, το Statable δεν υπολογίζει πρόβλεψη. Δεν συμπληρώνει τίποτα.
• Όχι με άνισα διαστήματα, με λιγότερες από 20 τιμές, ούτε αν όλες οι τιμές είναι ίσες.
• Η αυτόματη επιλογή λειτουργεί έως 600 τιμές. Πάνω από αυτό απομένουν η «Επιλογή του ARIMA από εσάς» και η εξομάλυνση.

Οι επιλογές

• Ορίζοντας: από προεπιλογή μία περίοδος (12 για μήνες), 5 χωρίς εποχικότητα. Το πολύ δύο περίοδοι και το πολύ το ένα τέταρτο της σειράς, τουλάχιστον 1.
• Λογαριθμική κλίμακα (μόνο ARIMA, μόνο για τιμές πάνω από 0): ενεργοποιημένη από προεπιλογή αν η αποσύνθεση υποδεικνύει πολλαπλασιαστικό μοντέλο, δηλαδή αν η διακύμανση αυξάνεται με το επίπεδο. Η πρόβλεψη και τα όρια μετασχηματίζονται πίσω· η πρόβλεψη είναι τότε διάμεσος, όχι μέσος όρος.
• Επιλογή του ARIMA από εσάς: p, q, P και Q από 0 έως 5, d έως 2, D έως 1. Το εποχικό μέρος (P, D, Q) λειτουργεί μόνο με περίοδο από 2 έως 24. Η σταθερά υπάρχει μόνο για d + D έως 1 (μέσος όρος ή μετατόπιση).
• Εξομάλυνση: με εποχικότητα μόνο με περίοδο 2 ή περισσότερο και τουλάχιστον δύο περιόδους συν μία τιμή· πολλαπλασιαστική μόνο για τιμές πάνω από 0.

Πώς επιλέγει η αυτόματη επιλογή

Το Statable ακολουθεί τους Hyndman και Khandakar (2008). Πρώτα ο αριθμός των διαφορών: d (0 έως 2) με το τεστ KPSS (όριο 0,463), D (0 ή 1) με την εποχική ισχύ (όριο 0,64). Έπειτα προσαρμόζει όλα τα μοντέλα έως p, q ≤ 2 με εποχικότητα (έως 3 χωρίς), P, Q ≤ 1 και p + q + P + Q ≤ 5, με και χωρίς σταθερά, και τα ταξινομεί κατά AICc. Το πρώτο είναι η πρόταση. Ο πίνακας δείχνει τα πέντε καλύτερα με ΔAICc. Με περίοδο πάνω από 24 ή με λιγότερες από τρεις πλήρεις περιόδους, η αυτόματη επιλογή αγνοεί την εποχικότητα.

Παγίδα: το μικρότερο AICc δεν είναι απόδειξη

Το AICc συγκρίνει μόνο τα μοντέλα που βλέπει. Αν το δεύτερο μοντέλο βρίσκεται λιγότερο από 2 πάνω (ΔAICc < 2), αρκετά μοντέλα είναι περίπου εξίσου καλά· τότε συγκρίνετε τις προβλέψεις («Υπολογισμός αυτού του μοντέλου» στον πίνακα). Με λιγότερες από 50 τιμές η επιλογή μοντέλου είναι αβέβαιη (Box και Jenkins). Το AICc δεν ενδείκνυται για τη σύγκριση μοντέλων με διαφορετικές διαφορές.

Ανάγνωση του αποτελέσματος

• Λίστα ελέγχου: προηγείται των αριθμών. Κάθε πρόταση ισχύει αν πληρούται η συνθήκη της. Η πρώτη ισχύει πάντα: μια πρόβλεψη επεκτείνει το παρελθόν και ισχύει μόνο αν οι συνθήκες μένουν ίδιες.
• Διάγραμμα και πίνακας: γραμμή των τιμών, διακεκομμένη η πρόβλεψη, με ζώνη 80% και ζώνη 95%. Η κάθετη γραμμή βρίσκεται στην τελευταία τιμή. Οι ζώνες πλαταίνουν με τον ορίζοντα.
• Κατάλοιπα: το τεστ Ljung-Box ελέγχει αν τα σφάλματα του μοντέλου εξακολουθούν να συνδέονται μεταξύ τους. Το p < ,05 σημαίνει: το μοντέλο δεν συλλαμβάνει ολόκληρο το πρότυπο και τα διαστήματα δεν είναι αξιόπιστα.
• Περίοδος ελέγχου: οι τελευταίες τιμές (μία περίοδος, έως 5 χωρίς εποχικότητα) κρατούνται στην άκρη και το ίδιο μοντέλο εκτιμάται ξανά με τις προηγούμενες τιμές. Η σύγκριση γίνεται με τον απλό κανόνα (τελευταία τιμή, με εποχικότητα η τιμή μία περίοδο νωρίτερα). Αν το μοντέλο δεν ήταν καλύτερο (RMSE ίσο ή μεγαλύτερο), η πρόβλεψη δεν προσφέρει κέρδος. Αν η σειρά είναι πολύ σύντομη, το λέει η λίστα ελέγχου.
• Κάτω όριο κάτω από 0 με μόνο θετικές τιμές: το μοντέλο δεν γνωρίζει το κάτω όριο του 0. Η λογαριθμική κλίμακα το αποφεύγει.

Προϋποθέσεις και όρια

• Ίσα διαστήματα, χωρίς κενά, τουλάχιστον 20 τιμές. Καλύτερα πάνω από 50.
• Η πρόβλεψη προϋποθέτει ότι οι συνθήκες μένουν ίδιες: καμία δομική διακοπή, κανένας νέος κανόνας, καμία κρίση. Το μοντέλο δεν μπορεί να το ξέρει.
• Το Statable δεν χειρίζεται ημερολογιακά φαινόμενα (δίσεκτα έτη, εργάσιμες ημέρες), αργίες, επεξηγηματικές σειρές ή πολλαπλές εποχικότητες.
• Τα διαστήματα της εξομάλυνσης (HoltWinters) είναι προσέγγιση, ιδίως τα πολλαπλασιαστικά.

Αναφορά του αποτελέσματος

Για τους μηνιαίους επιβάτες αεροπορικών εταιρειών εκτιμήθηκε το ARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] στη λογαριθμική κλίμακα (MA 1 = −,402, εποχικό MA 1 = −,557· AICc = −483,21). Ljung-Box Q(24) = 26,45, df = 22, p = ,233. Στη δωδεκάμηνη περίοδο ελέγχου το RMSE ήταν 18,59 έναντι 50,71 για τον απλό κανόνα. Πρόβλεψη για τον πρώτο μήνα: 450, διάστημα 95% [419 έως 484].

Για ειδικούς

Όλα υπολογίζονται από την R (μόνο stats, κανένα πρόσθετο πακέτο): arima (μέγιστη πιθανοφάνεια), predict για τον μέσο όρο και το τυπικό σφάλμα, HoltWinters, stl για την εποχική ισχύ, Box.test. Η επιλογή μοντέλου αντιστοιχεί στο forecast::auto.arima με stepwise = FALSE και approximation = FALSE: σε δέκα σειρές, κάθε μία με και χωρίς λογάριθμο, και οι 20 εκτελέσεις έδωσαν το ίδιο μοντέλο, το ίδιο AICc και την ίδια σημειακή πρόβλεψη.

Τα όρια διαφέρουν σκόπιμα από το forecast: το forecast υπολογίζει το σ² με διόρθωση των βαθμών ελευθερίας, το Statable χρησιμοποιεί stats::predict (σ² με μέγιστη πιθανοφάνεια).

Διαφορές από το SPSS

• Πρόσημο των συντελεστών MA: η R και το Statable γράφουν το μοντέλο κατά Box και Jenkins· το SPSS δείχνει το MA με αντίθετο πρόσημο (επιβάτες αεροπορικών εταιρειών: −,402 και −,557 έναντι ,402 και ,558).
• Τυπικά σφάλματα και όρια: το SPSS εκτιμά και υπολογίζει τη διακύμανση διαφορετικά. Παράδειγμα επιβάτες αεροπορικών εταιρειών, πρώτος μήνας: Statable 419 έως 484, SPSS 419 έως 485. Παράδειγμα Nile, πρώτο έτος: 541 έως 1092 έναντι 534 έως 1098.
• Αρχικές τιμές της εξομάλυνσης: Nile με απλή εξομάλυνση: Statable α = ,2466 και 805, SPSS α = ,248 και 804.
• Οι σημειακές προβλέψεις συμφωνούν ως προς τη στρογγυλοποίηση (Nile με ARIMA(1,1,1) χωρίς σταθερά: 816, 836, 840, 842, 842 και στα δύο).

Πηγές

Hyndman, R. J., & Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: The forecast package for R. Journal of Statistical Software, 27(3).

Box, G. E. P., & Jenkins, G. M.: Time series analysis: Forecasting and control (Wiley).

Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P., & Shin, Y. (1992). Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics, 54, 159-178.

Τυπικά παραδείγματα

• Εγγραφές σε ένα μάθημα ανά μήνα: πόσες αναμένονται το επόμενο εξάμηνο - και ήταν το μοντέλο καλύτερο στην περίοδο ελέγχου από το «όπως πέρυσι»;
• Ετήσιες μετρήσεις χωρίς εποχικότητα (για παράδειγμα στάθμη νερού): εξομάλυνση ή ARIMA χωρίς εποχικό μέρος, με τα τελευταία πέντε έτη ως περίοδο ελέγχου.