Навчальна лабораторія: вибірки, бутстреп, стохастичні експерименти й таблиця спряженості 2 × 2 для вправ

Коротко

Навчальна лабораторія програє випадковість тисячі разів і показує, що з цього виходить. Вона має шість вкладок і не потребує даних. Усе показане має вигляд зображення, числа й речення; нічого не зберігається.

Початкове значення

Усі випадкові числа беруться з початкового значення вгорі (за замовчуванням 1). Те саме початкове значення - ті самі числа: так можна повторити запуск і порівняти його з іншими. «Знову (нове початкове значення)» збільшує початкове значення на 1 і знову запускає відкриту вкладку. Початкове значення вказано в кожному реченні. Випадкові числа не збігаються з числами в R чи SPSS; той самий розподіл, інші числа.

Шість вкладок

• Вибірки: із генеральної сукупності (нормальної, рівномірної, сильно асиметричної, двогорбої, кубик або частка) добирають до 10 000 вибірок обсягу n. Зображення показує середні (частки для «частки») із кривою, яку передбачає теорія. Стандартна похибка із симуляції близька до σ/√n, а розподіл стає дедалі вужчим і більш дзвоноподібним зі зростанням n (центральна гранична теорема).
• Бутстреп: із введених до 200 значень знову і знову добирають нові вибірки із поверненням (такого самого обсягу, як ряд), щоразу записуючи середнє. Процентильний інтервал (квантилі типу 7 з R) показано поруч із t-інтервалом. Менш ніж за 10 значень процентильний інтервал часто занадто вузький.
• Рандомізація: дві групи (до 100 значень кожна) знову і знову перемішують, щоразу записуючи різницю середніх. p-значення дорівнює (кількість щонайменше таких великих різниць + 1) / (перемішування + 1), щоб воно ніколи не було точно 0. Якщо можливих розбивок щонайбільше 20 000, додатково підраховується все (тоді без «+1»). Для порівняння поруч показано t-критерій Велча.
• Стохастичні експерименти: монета, один або два кубики (правильні чи несиметричні) та урна (urn) із поверненням або без повернення, до 100 000 повторень. Хід показує відносну частоту проти ймовірності (закон великих чисел); таблиця ставить поруч частоти й точні ймовірності.
• Таблиця спряженості 2 × 2 і дерево: за поширеністю, чутливістю та специфічністю (або за чотирма кількостями) плитка будує таблицю, дерево з природними частотами (natural frequencies), обернене дерево, прогностичні цінності (PPV, NPV) з обчисленням за Баєсом крок за кроком і перевірку незалежності. Опорний обсяг добирається так, щоб усі числа були цілими (до 1 000 000); інакше показуються десяткові знаки, ніколи не округлені мовчки. Приклад: 1%, 90%, 91% дають PPV 9,17%: із 981 особи з позитивним результатом хворих лише 90.
• Довірчі інтервали: 100 інтервалів (Вілсон для частки, t-інтервал для середнього) один під одним, справжнє значення як вертикальна лінія. Інтервали, що охоплюють, тонкі й суцільні з кружком, ті, що не охоплюють, - товсті й пунктирні з ромбом. «Ще 100» продовжує підрахунок; загальна частка наближається до рівня.

Що означає «95%»

Рівень стосується процедури, а не окремого інтервалу: у довгостроковій перспективі така процедура охоплює справжнє значення приблизно 95 разів зі 100; окремий інтервал або охоплює його, або ні.

Вілсон і підручникова формула (Вальда)

Statable обчислює інтервали для часток за Вілсоном. Підручники часто наводять наближення p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Вальда); це просте розв’язання нерівності, точним розв’язком якої є інтервал Вілсона. Саме тому число з підручника трохи відрізняється. Приклад 7 із 40, 95%: Вілсон [0,0875; 0,3195], підручникова формула [0,0572; 0,2928]. Лише у вкладці «Довірчі інтервали» можна ввімкнути підручникову формулу для порівняння; там видно, що за малого n і малого або великого p вона охоплює помітно рідше, ніж становить рівень (наприклад, n = 50, p = 5%: Вальд 92,0%, Вілсон 96,2%).

Обмеження

• Обсяг вибірки від 1 до 500, щонайбільше 100 000 повторень (обчислюється частинами, щоб сторінка залишалася придатною до використання); ряди бутстрепу щонайбільше 200 значень, рандомізація щонайбільше 100 на групу.
• Бутстреп стосується лише середнього, рандомізація - лише різниці середніх. Жодних власних файлів, нічого не зберігається.
• Генератор має 32 біти; для дуже великої кількості добирань (понад 10⁸) його було б недостатньо, звідси верхні межі.

Для фахівців

Генератор: mulberry32; підпотоки змішуються з (початкове значення, порядковий номер), а не «+1». Нормальні значення за методом Бокса-Мюллера, дискретні розподіли - інвертуванням функції розподілу від моди назовні. Перевірено тестами властивостей за фіксованого початкового значення: рівномірність (evenness) генератора (критерій Колмогорова-Смирнова), узгодженість перетворень із розподілами, обчисленими в R, за хі-квадрат, стандартна похибка, рандомізація щодо повного перебору, покриття щодо точної ймовірності покриття (сума за dbinom). Процентильний інтервал: квантиль типу 7, як у R. Баєс: чиста арифметика, перевірена щодо R і щодо діагностичної точності за даними.

Джерела

• KMK: освітні стандарти з математики, загальна кваліфікація для вступу до університету (2012), провідна ідея «дані й випадковість» (дерева ймовірностей (tree diagram), таблиці спряженості 2 × 2, симуляції, висновок від вибірок до генеральної сукупності).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. та ін.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): моделі вибіркових розподілів, бутстрепу та рандомізації.