Inlärningslabb: stickprov, bootstrap, slumpförsök och korstabell (2 × 2) att prova

Kort sagt

Inlärningslabbet spelar upp slumpen tusentals gånger och visar vad som kommer ut. Det har sex flikar och behöver inga data. Allt som visas kommer som bild, tal och mening; ingenting sparas.

Startvärdet

Alla slumptal kommer från startvärdet överst (standard 1). Samma startvärde, samma tal: så kan en körning upprepas och jämföras med andra. ”Igen (nytt startvärde)” räknar upp startvärdet med 1 och kör den öppna fliken igen. Startvärdet anges i varje mening. Slumptalen stämmer inte med dem i R eller SPSS; samma fördelning, andra tal.

De sex flikarna

• Stickprov: upp till 10 000 stickprov av storleken n dras ur en population (normal, platt, mycket skev, tvåtoppig, tärning eller andel). Bilden visar medelvärdena (andelarna för ”andel”) med den kurva som teorin förutsäger. Standardfelet från simuleringen ligger nära σ/√n, och fördelningen blir smalare och mer klockformad när n växer (centrala gränsvärdessatsen).
• Bootstrap: ur upp till 200 inskrivna värden dras nya stickprov om och om igen med återläggning (lika stora som serien), och varje gång noteras medelvärdet. Percentilintervallet (kvantiler av R-typ 7) visas bredvid t-intervallet. Med färre än 10 värden är percentilintervallet ofta för smalt.
• Randomisering: två grupper (upp till 100 värden vardera) blandas om och om igen, och varje gång noteras skillnaden mellan medelvärdena. P-värdet är (antal skillnader som är minst lika stora + 1) / (omblandningar + 1), så att det aldrig blir exakt 0. Om det finns högst 20 000 möjliga uppdelningar räknas även allt (då utan ”+1”). Welchs t-test visas bredvid som jämförelse.
• Slumpförsök: mynt, en eller två tärningar (rättvisa eller manipulerade) och urna med eller utan återläggning, upp till 100 000 upprepningar. Förloppet visar den relativa frekvensen mot sannolikheten (de stora talens lag); tabellen ställer frekvenser och exakta sannolikheter bredvid varandra.
• Korstabell (2 × 2) och träd: utifrån prevalens, sensitivitet och specificitet (eller fyra frekvenser) bygger rutan tabellen, ett träd med naturliga frekvenser (natural frequencies), det omvända trädet, de prediktiva värdena (PPV, NPV) med Bayes beräkning steg för steg och en oberoendekontroll. Referensstorleken väljs så att alla tal blir heltal (upp till 1 000 000); annars visas decimaler, aldrig avrundade i tysthet. Exempel: 1 %, 90 %, 91 % ger ett PPV på 9,17 %: av 981 personer som testar positivt är bara 90 sjuka.
• Konfidensintervall: 100 intervall (Wilson för en andel, t-intervall för ett medelvärde) staplade, det sanna värdet som lodrät linje. Intervall som täcker är tunna och heldragna med en cirkel, de som inte täcker är tjocka och streckade med en romb. ”Ytterligare 100” fortsätter räkna; totalen närmar sig nivån.

Vad ”95 %” betyder

Nivån hör till förfarandet, inte till ett enskilt intervall: i det långa loppet täcker ett sådant förfarande det sanna värdet ungefär 95 gånger av 100; ett enskilt intervall täcker det antingen eller inte.

Wilson och läroboksformeln (Wald)

Statable beräknar intervall för andelar med Wilson. Läroböcker anger ofta approximationen p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); den är den enkla lösningen av den olikhet vars exakta lösning är Wilson-intervallet. Därför skiljer sig talet i läroboken något. Exempel 7 av 40, 95 %: Wilson [0,0875; 0,3195], läroboksformeln [0,0572; 0,2928]. Bara på fliken ”Konfidensintervall” kan läroboksformeln slås på för jämförelse; där visar den att den vid litet n och litet eller stort p täcker tydligt mer sällan än nivån (till exempel n = 50, p = 5 %: Wald 92,0 %, Wilson 96,2 %).

Begränsningar

• Stickprovsstorlek 1 till 500, högst 100 000 upprepningar (beräknas i delar så att sidan förblir användbar); bootstrap-serier högst 200 värden, randomisering högst 100 per grupp.
• Bootstrap hanterar bara medelvärdet, randomiseringen bara skillnaden mellan medelvärden. Inga egna filer, ingenting sparas.
• Generatorn har 32 bitar; för mycket många dragningar (över 10⁸) skulle den inte längre räcka, därav de övre gränserna.

För specialister

Generator: mulberry32; delströmmar blandas fram ur (startvärde, löpnummer), inte ”+1”. Normalvärden med Box-Muller, diskreta fördelningar genom inversion av fördelningsfunktionen från modalvärdet utåt. Kontrollerat med egenskaper och fast startvärde: generatorns likformighet (Kolmogorov-Smirnov), chi-två-anpassning av transformationerna till de fördelningar som beräknats i R, standardfel, randomisering mot fullständig uppräkning (complete enumeration), täckning mot den exakta täckningssannolikheten (summa över dbinom). Percentilintervall: kvantil av typ 7 som i R. Bayes: ren aritmetik, kontrollerad mot R och mot diagnostisk noggrannhet från data.

Källor

• KMK: bildningsstandarder i matematik, allmän högskolebehörighet (Abitur, 2012), ledande idé ”data och slump” (träddiagram, korstabeller, simuleringar, slutsatser från stickprov till population).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modeller för stickprovsfördelningar (sampling distribution), bootstrap och randomisering.