Beräkna från sammanfattande tal: intervall, test och stickprovsstorlek

Kort sagt

Om bara siffrorna finns (ett antal x av n, eller medelvärde, standardavvikelse och n) beräknar den här rutan konfidensintervallet och testet. Den svarar också på hur stort stickprovet måste vara för ett intervall med önskad bredd.

Andel

• Intervallet är Wilsons score-intervall utan kontinuitetskorrektion. Testet är score-testet, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); intervall och test hör ihop (dualitet). Intervallet är alltid tvåsidigt, testets riktning (vänster, höger, två) påverkar bara p-värdet.
• Om p̂ anges i stället för x beräknar Statable x = p̂ · n. Om resultatet ligger vid ett heltal (0,07 · 100 = 7) avrundas det till det; annars blir x kvar och en anmärkning visas. Ingenting avrundas i tysthet.
• Om n · p₀ · (1 − p₀) är högst 9 är testets normalapproximation grov. Det exakta testet med binomialfördelningen finns i rutan ”Förstå testet för en andel”. Med samma tal (7 av 40, p₀ = 0,4) ger de två olika p-värden: 0,0037 för approximationen, 0,0041 för det exakta testet med dubblering.

Varför skiljer sig läroboken?

Många läroböcker använder approximationsformeln p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Den är otillförlitlig för litet n eller för andelar nära 0 och 1 och kan till och med överstiga 1. Wilson löser den underliggande olikheten exakt. Exempel 7 av 40, 95 %: läroboksformeln 0,0572 till 0,2928, Wilson 0,0875 till 0,3195. Talet i boken är alltså inte felräknat utan en approximation. (R-funktionen prop.test tillämpar som standard en kontinuitetskorrektion och ger här 0,0789 till 0,3336; Statable räknar utan den.)

Medelvärde

Standardfel SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE med n − 1 frihetsgrader, intervall x̄ ± t · SE och Cohens d = (x̄ − μ₀) / s. Eftersom populationens standardavvikelse är okänd används t och inte z. n under 2 och s = 0 är spärrade, eftersom t och d inte skulle vara definierade.

Stickprovsstorlek för en önskad bredd

• Andel: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, medelvärde: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, med d som halvbredd (”± d”). Alltid avrundat uppåt. En del böcker anger hela intervallängden L; då är d = L / 2.
• Utan förkunskaper låter du p = 0,5: det är värsta fallet, inget annat p behöver fler personer. Exempel vid 95 %: ± 5 procentenheter 385, ± 3 procentenheter 1068, ± 2 procentenheter 2401, ± 1 procentenhet 9604.
• Formeln är den enkla skattningen av n. Intervallet för det färdiga stickprovet beräknas därefter med Wilson. För ett medelvärde behöver t några personer fler än z.

Incidenstal från händelser och persontid

• Valet ”Ett incidenstal” beräknar ur antalet händelser och persontiden per grupp incidenstalet (händelser per persontid) med det exakta Poisson-intervallet enligt Garwood, incidenskvoten för varje grupp mot en referensgrupp och ratedifferensen (rate difference). Personen väljer tidsenheten (dagar, veckor, månader, år); Statable gissar den aldrig. Incidenstal visas per 1 000 personår (valbart).
• Incidenskvoten är exakt (betingad binomialfördelning som i R poisson.test), differensen ett Wald-intervall (en approximation, osäker med färre än cirka 10 händelser per grupp). Har referensgruppen ingen händelse är kvoten inte definierad; Statable säger det och visar det exakta p-värdet, differensen finns kvar. Med fler än två grupper är p-värdena inte justerade för multipla jämförelser.
• Ett incidenstal är ingen risk: det är inte andelen personer som fick händelsen. Beräkningen förutsätter poissonvariation och ett incidenstal som förblir detsamma under observationstiden; varierar antalen mer är intervallen för smala (använd då räkneregressionen med negativ binomialfördelning). Persontid är summan av den faktiska observationstiden, inte antalet personer gånger en genomsnittlig varaktighet.

För specialister

Kontrollerat mot R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) för intervall och p-värde, t.test för medelvärde, intervall och p, qnorm för stickprovsstorlekarna. För x = 0 är den nedre gränsen exakt 0, för x = n är den övre gränsen exakt 1. Vid p̂ = 0,5 är Wilson-intervallet aldrig bredare än Wald-intervallet.

Källor

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, österrikisk lärobok), kapitel 7: konfidensintervall och stickprovsstorlek för ett konfidensintervall.