Výpočet ze souhrnných statistik: interval, test a rozsah výběru

Stručně

Pokud jsou k dispozici jen čísla (četnost x z n, nebo průměr, směrodatná odchylka a n), tato dlaždice spočítá interval spolehlivosti a test. Odpovídá také na otázku, jak velký musí být výběr pro interval požadované šířky.

Podíl

• Interval je Wilsonův skórový interval bez opravy na spojitost. Test je skórový test (score test), z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); interval a test k sobě patří (dualita). Interval je vždy oboustranný, směr testu (levý, pravý, oboustranný) ovlivňuje jen p-hodnotu.
• Pokud se místo x zadá p̂, Statable spočítá x = p̂ · n. Je-li výsledek celé číslo (0,07 · 100 = 7), zaokrouhlí se na ně; jinak x zůstane a objeví se poznámka. Nic se nezaokrouhluje potichu.
• Je-li n · p₀ · (1 − p₀) nejvýše 9, je aproximace testu normálním rozdělením hrubá. Přesný test s binomickým rozdělením je v dlaždici „Pochopení testu pro podíl“. Při stejných číslech (7 ze 40, p₀ = 0,4) dávají oba různé p-hodnoty: 0,0037 pro aproximaci, 0,0041 pro přesný test se zdvojnásobením.

Proč se učebnice liší?

Mnoho učebnic používá aproximační vzorec p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Je nepřesný při malém n nebo u podílů blízko 0 a 1 a může dokonce překročit 1. Wilson řeší příslušnou nerovnost přesně. Příklad 7 ze 40, 95 %: učebnicový vzorec 0,0572 až 0,2928, Wilson 0,0875 až 0,3195. Číslo v knize tedy není špatně spočítané, ale je to aproximace. (Funkce R prop.test standardně používá opravu na spojitost a dává zde 0,0789 až 0,3336; Statable počítá bez ní.)

Průměr

Standardní chyba SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE s n − 1 stupni volnosti, interval x̄ ± t · SE a Cohenovo d = (x̄ − μ₀) / s. Protože směrodatná odchylka v základním souboru není známa, používá se t, ne z. n pod 2 a s = 0 jsou zablokovány, protože t a d by nebyly definovány.

Rozsah výběru pro požadovanou šířku

• Podíl: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, průměr: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, kde d je poloviční šířka („± d“). Vždy zaokrouhleno nahoru. Některé knihy uvádějí celou délku L intervalu; pak je d = L / 2.
• Bez předchozích znalostí nechte p = 0,5: je to nejhorší případ, žádné jiné p nepotřebuje víc osob. Příklady při 95 %: ± 5 p. b. 385, ± 3 p. b. 1068, ± 2 p. b. 2401, ± 1 p. b. 9604.
• Vzorec je jednoduchý odhad pro n. Interval hotového výběru se pak spočítá podle Wilsona. U průměru potřebuje t o něco víc osob než z.

Incidenční míry z událostí a osobočasu

• Volba „Incidenční míra“ vypočítá z počtu událostí a osobočasu (person-time) na skupinu incidenční míru (události na osobočas) s přesným Poissonovým intervalem podle Garwooda, poměr incidenčních měr (incidence rate ratio) každé skupiny vůči referenční skupině a rozdíl incidenčních měr (rate difference). Osoba volí jednotku času (dny, týdny, měsíce, roky); Statable ji nikdy nehádá. Míry se zobrazují na 1000 osoboroků (volitelně).
• Poměr incidenčních měr (incidence rate ratio) je přesný (podmíněné binomické rozdělení jako v R poisson.test), rozdíl je Waldův interval (aproximace, nejistá při méně než asi 10 událostech na skupinu). Nemá-li referenční skupina žádnou událost, poměr není definován; Statable to řekne a ukáže přesné p, rozdíl zůstává. U více než dvou skupin nejsou p-hodnoty upraveny pro vícenásobná porovnání.
• Incidenční míra není riziko: není to podíl osob, které měly událost. Výpočet předpokládá poissonovský rozptyl a míru, která se během pozorování nemění; kolísají-li počty víc, jsou intervaly příliš úzké (použijte pak regresi počtů se záporným binomickým rozdělením). Osobočas (person-time) je součet skutečné doby pozorování, nikoli počet osob krát průměrná doba.

Pro odborníky

Ověřeno vůči R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) pro interval a p-hodnotu, t.test pro průměr, interval a p, qnorm pro rozsahy výběru. Pro x = 0 je dolní mez přesně 0, pro x = n horní mez přesně 1. Při p̂ = 0,5 není Wilsonův interval nikdy širší než Waldův interval.

Zdroje

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, rakouská učebnice), kapitola 7: interval spolehlivosti a rozsah výběru intervalu spolehlivosti.