Pochopení testu pro podíl: kritický obor, skutečné α, predikční interval

Stručně

Při H₀ má X binomické rozdělení s n a p₀. Z hladiny významnosti α určí dlaždice kritický obor K, tedy počty úspěchů, při nichž se H₀ zamítá. Příklad n = 100, p₀ = 0,5, α = 5 %, pravostranně: K = {59, …, 100}. Při alespoň 59 úspěších se H₀ zamítá.

Kritický obor K a skutečné α

• Pravostranný (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} s nejmenším g, pro které P(X ≥ g) ≤ α. Levostranný (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} s největším k, pro které P(X ≤ k) ≤ α. Oboustranný (H₁: p ≠ p₀): obě strany po α / 2.
• Skutečné α je pravděpodobnost, s níž K nastane při H₀. Nikdy není nad zvoleným α, ale často pod ním, protože X nabývá jen celých hodnot (v příkladu 4,43 % místo 5 %). Statable ho zobrazuje vždy.
• Je-li K prázdné, zobrazí se: „Při tomto n nelze H₀ na hladině α nikdy zamítnout.“ To nastává při malém n a malém α.

p-hodnota a rozhodnutí

Jednostranně p = P(X ≥ x) nebo P(X ≤ x). Oboustranně Statable zdvojnásobí menší jednostrannou hodnotu: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Vždy tedy platí: x leží v K právě tehdy, když p ≤ α. Rozhodnutí a p-hodnota si nikdy neodporují. R (binom.test) počítá oboustrannou hodnotu jinak (součet všech pravděpodobností, které jsou nejvýše tak velké jako P(X = x)); pro p₀ ≠ 0,5 může být p-hodnota tam menší. Příklad n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: zdvojnásobení 0,0041, binom.test 0,0033. Pro p₀ = 0,5 jsou obě stejné.

Nezamítnutí neznamená, že H₀ platí

Leží-li x mimo K, zní věta: „Data poskytují příliš málo důkazů, že se p liší od p₀.“ Není to důkaz, že H₀ platí. „Statisticky významný“ platí jen spolu s hladinou, na které se to říká.

Chyba II. druhu a síla testu

Chyba I. druhu: H₀ se zamítne, ač platí; její pravděpodobnost je skutečné α. Chyba II. druhu: H₀ se nezamítne, ač ve skutečnosti platí jiný podíl p₁; její pravděpodobnost je β = P(X ∉ K | p₁). Síla testu 1 − β = P(X ∈ K | p₁) je pravděpodobnost, že se rozdíl najde. Příklad n = 100, p₀ = 0,5, pravostranně, p₁ = 0,6: β = 37,75 %, síla testu 62,25 %.

Predikční interval, nebo interval spolehlivosti?

Predikční interval platí, když je p známé: udává rozmezí [a; b] počtu úspěchů, který nastane s pravděpodobností alespoň 1 − α (usuzování dopředu). Je protějškem oboustranného K. Příklad n = 100, p₀ = 0,5, 5 %: [40; 60], tedy podíly od 0,40 do 0,60. Interval spolehlivosti platí, když je pozorováno x: udává rozmezí pro p (usuzování zpětně; dlaždice „Výpočet ze souhrnných statistik“). Vedle je pro srovnání zobrazena aproximace sigma μ ± 1,96 σ.

Pro odborníky

Všechna čísla jsou přesné binomické součty. K se s α srovnává s tolerancí 1e-7 (jako to dělá R při rovnosti, například přesně P = 0,05). Oboustranná p-hodnota je „centrální“ metoda (zdvojnásobení); shoduje se s Clopperovým-Pearsonovým intervalem a je k dispozici v balíčku R exactci jako binom.exact(…, tsmethod = "central"). Ověřeno vůči R (qbinom, pbinom, dbinom) a cyklem přes všechny kritické obory, tištěné příklady: vzdělávání učitelů Bádensko-Württembersko (paměťové čipy, kostky, jídelna).

Zdroje

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: vzdělávací standardy z matematiky, všeobecná kvalifikace pro vysokoškolské studium (2012), vůdčí idea „data a náhoda“; Lösungswege 8 (ÖBV, rakouská učebnice), kapitola 7: jednostranný a oboustranný test hypotézy s binomickým rozdělením.
• Vzdělávání učitelů Bádensko-Württembersko: testování hypotéz (stochastika).