Výpočet rozdělení: pravděpodobnost, kvantil, střední hodnota

Stručně

Vyberte rozdělení, zadejte parametry, položte otázku: „nejvýše (≤)“, „menší než (<)“, „alespoň (≥)“, „větší než (>)“, „mezi a a b“ nebo „hodnota pro pravděpodobnost“. Výsledek se zobrazí jako desetinné číslo a v procentech (0,0443 = 4,43 %), jako věta a jako obrázek s vybarvenou a šrafovanou plochou, popř. se šrafovanými sloupci.

Diskrétní, nebo spojité

• U binomického, Poissonova, hypergeometrického a vlastních rozdělení počítá X celé hodnoty. „Nejvýše 5“ pak není totéž co „menší než 5“: samotná hodnota 5 má vlastní pravděpodobnost. Je to nejčastější školní chyba, proto Statable ukazuje všechny čtyři otázky pod sebou.
• U rozdělení normálního, t, χ² a F mají jednotlivé hodnoty pravděpodobnost 0. „Nejvýše“ a „menší než“ jsou tam totéž, stejně jako „alespoň“ a „větší než“.

Kvantil

U diskrétních rozdělení je kvantil nejmenší hodnota x s P(X ≤ x) ≥ p (definice, kterou používá R). Statable ukazuje skutečně dosaženou pravděpodobnost, protože bývá o něco nad p, neboť existují jen celé hodnoty. Není to kritický obor testu: ten určuje dlaždice „Pochopení testu pro podíl“ podle školního pravidla.

Vlastní rozdělení

Zadejte do tabulky hodnoty x a pravděpodobnosti P(x), jako desetinná čísla nebo zlomky (1/6). Statable spočítá E(X) = Σ x · P(x) a Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Pokud součet není 1, nic se potichu neupravuje: objeví se dotaz, zda byly použity zaokrouhlené hodnoty, s volbami „Normovat na 1“ a „Ponechat beze změny“. E(X) je průměr z dlouhodobého hlediska, ne nejčastější hodnota.

Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením

• Normální křivka s μ = n · p a σ = √(n · p · (1 − p)) leží nad sloupci. P(a ≤ X ≤ b) je zobrazena přesně vedle aproximace bez opravy na spojitost a s ní. Oprava počítá od a − ½ do b + ½, protože sloupec k sahá od k − ½ do k + ½; je přesnější, některé školy počítají bez ní.
• Podmínka použitelnosti aproximace (Laplace condition): je-li σ větší než 3, považuje se aproximace za použitelnou; jinak je hrubá. Vedle textu stojí symbol ✓ nebo !, samotná barva žádnou informaci nenese.
• Pravidlo tří sigma: tabulka ukazuje 1σ, 2σ, 3σ a školní hodnoty 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ s aproximací a přesnou binomickou pravděpodobností celočíselných mezí. Školní hodnoty jsou zaokrouhlené, přesné jsou 1,6449, 1,9600 a 2,5758; proto 1,64σ dává jen asi 89,9 % místo „90 %“.

Střední hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka

Každé rozdělení ukazuje μ, σ² a σ. Co neexistuje, je uvedeno a není zobrazeno jako „NaN“: rozdělení t nemá střední hodnotu pro nejvýše 1 stupeň volnosti a konečný rozptyl pro nejvýše 2; rozdělení F má střední hodnotu od df₂ > 2 a rozptyl od df₂ > 4.

Hypergeometrické

Statable označuje N (prvků celkem), K (z toho úspěchy) a n (vylosováno bez vracení), jak se učí ve škole. R píše phyper(q, m, n, k) s m = K úspěchů, n = N − K neúspěchů a k = vylosováno; názvy se liší, výsledek ne. Příklad loterie „6 ze 49“: N = 49, K = 6, n = 6.

Pro odborníky

Hustoty podle Loadera (1999, jako v R dbinom, dpois, dhyper), chvosty sčítáním od modu směrem ven, funkce beta a gama pomocí řetězových zlomků, rozdělení t a F přes funkci beta. Kvantily spojitých rozdělení se shodují s R na relativních 1e-8, kvantily diskrétních rozdělení přesně. Ověřeno vůči R a vůči PSPP; tištěné příklady: tabulka distribuční funkce binomického rozdělení n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabulka standardního normálního rozdělení.

Zdroje

• KMK (Stálá konference ministrů školství Německa): vzdělávací standardy z matematiky pro všeobecnou kvalifikaci pro vysokoškolské studium (2012), vůdčí idea „data a náhoda“ (binomické rozdělení, střední hodnota a směrodatná odchylka diskrétních náhodných veličin, simulace).
• Lösungswege 8 (ÖBV, rakouská učebnice), kapitoly 5 až 7: spojité náhodné veličiny, normální rozdělení s aproximací binomického rozdělení.
• Vzdělávání učitelů Bádensko-Württembersko: binomické a normální rozdělení, podmínka použitelnosti aproximace (Laplace condition), oprava na spojitost.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.