Verteilungen berechnen: Wahrscheinlichkeit, Quantil, Erwartungswert

Kurz

Verteilung wählen, Parameter eingeben, Frage stellen: „höchstens (≤)“, „weniger als (<)“, „mindestens (≥)“, „mehr als (>)“, „zwischen a und b“ oder „Wert zu einer Wahrscheinlichkeit“. Das Ergebnis steht als Dezimalzahl und in Prozent (0,0443 = 4,43 %), als Satz und als Bild mit der gefärbten und schraffierten Fläche bzw. den schraffierten Säulen.

Diskret oder stetig

• Bei Binomial-, Poisson-, hypergeometrischer und eigener Verteilung zählt X ganze Werte. „Höchstens 5“ ist dann nicht dasselbe wie „weniger als 5“: der Wert 5 selbst hat eine eigene Wahrscheinlichkeit. Das ist der häufigste Schulfehler; darum zeigt Statable alle vier Fragen untereinander.
• Bei Normal-, t-, χ²- und F-Verteilung haben einzelne Werte die Wahrscheinlichkeit 0. „Höchstens“ und „weniger als“ sind dort gleich, ebenso „mindestens“ und „mehr als“.

Quantil

Bei diskreten Verteilungen ist das Quantil der kleinste Wert x mit P(X ≤ x) ≥ p (die Definition von R). Statable zeigt die erreichte Wahrscheinlichkeit dazu, denn sie liegt meist etwas über p, weil es nur ganze Werte gibt. Das ist nicht der Ablehnungsbereich eines Tests: den bestimmt die Kachel „Anteilstest verstehen“ nach der Schulregel.

Eigene Verteilung

Werte x und Wahrscheinlichkeiten P(x) in eine Tabelle eintragen, als Dezimalzahl oder Bruch (1/6). Statable rechnet E(X) = Σ x · P(x) und Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Ergibt die Summe nicht 1, wird nichts still angepasst: es erscheint die Frage, ob mit gerundeten Werten gerechnet wurde, mit den Wahlmöglichkeiten „Auf 1 setzen“ und „So lassen“. E(X) ist der Mittelwert auf lange Sicht, nicht der häufigste Wert.

Normalnäherung der Binomialverteilung

• Die Normalkurve mit μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)) liegt über den Säulen. P(a ≤ X ≤ b) steht exakt neben der Näherung ohne und mit Stetigkeitskorrektur. Die Korrektur rechnet von a − ½ bis b + ½, weil die Säule k von k − ½ bis k + ½ reicht; sie ist genauer, manche Schulen rechnen ohne.
• Laplace-Bedingung: Ist σ größer als 3, gilt die Näherung als brauchbar; sonst ist sie grob. Das Zeichen ✓ bzw. ! steht neben dem Text, die Farbe allein trägt keine Information.
• Sigma-Regeln: Die Tabelle zeigt 1σ, 2σ, 3σ und die Schulwerte 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ mit der Näherung und der exakten Binomialwahrscheinlichkeit der ganzzahligen Randwerte. Die Schulwerte sind gerundet, genau sind 1,6449, 1,9600 und 2,5758; deshalb ergibt 1,64σ nur etwa 89,9 % statt „90 %“.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Bei jeder Verteilung stehen μ, σ² und σ. Was nicht existiert, wird gesagt und nicht als „NaN“ gezeigt: die t-Verteilung hat bei höchstens 1 Freiheitsgrad keinen Erwartungswert, bei höchstens 2 keine endliche Varianz; die F-Verteilung hat ab df₂ > 2 einen Erwartungswert und ab df₂ > 4 eine Varianz.

Hypergeometrisch

Statable beschriftet N (Elemente insgesamt), K (davon Treffer) und n (gezogen, ohne Zurücklegen), wie in der Schule. R schreibt phyper(q, m, n, k) mit m = K Treffern, n = N − K Nieten und k = gezogen; die Namen unterscheiden sich, das Ergebnis nicht. Beispiel Lotto „6 aus 49“: N = 49, K = 6, n = 6.

Für Fachleute

Dichten nach Loader (1999, wie R dbinom, dpois, dhyper), Schwänze durch Summieren vom Gipfel nach außen, Betafunktion und Gammafunktion mit Kettenbruch, t- und F-Verteilung über die Betafunktion. Quantile stetiger Verteilungen stimmen mit R auf relativ 1e-8 überein, Quantile diskreter Verteilungen exakt. Geprüft gegen R und gegen PSPP; gedruckte Beispiele: Tafelwerk Binomial-Summenfunktion n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), Standardnormal-Tabelle.

Quellen

• KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee „Daten und Zufall“ (Binomialverteilung, Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen, Simulationen).
• Lösungswege 8 (ÖBV), Kapitel 5 bis 7: stetige Zufallsvariablen, Normalverteilung mit Näherung der Binomialverteilung.
• Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Binomialverteilung und Normalverteilung, Laplace-Bedingung, Stetigkeitskorrektur.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.