Beräkna fördelningar: sannolikhet, kvantil, väntevärde

Kort sagt

Välj en fördelning, ange parametrarna och ställ frågan: ”högst (≤)”, ”mindre än (<)”, ”minst (≥)”, ”större än (>)”, ”mellan a och b” eller ”värde för en sannolikhet”. Resultatet visas som decimaltal och i procent (0,0443 = 4,43 %), som mening och som bild med den färgade och streckade ytan eller de streckade staplarna.

Diskret eller kontinuerlig

• För binomial-, Poisson-, hypergeometrisk och egen fördelning räknar X heltalsvärden. ”Högst 5” är då inte detsamma som ”mindre än 5”: värdet 5 självt har en egen sannolikhet. Det här är det vanligaste skolmisstaget, därför visar Statable alla fyra frågorna under varandra.
• För normal-, t-, χ²- och F-fördelningen har enskilda värden sannolikheten 0. ”Högst” och ”mindre än” är där detsamma, liksom ”minst” och ”större än”.

Kvantil

För diskreta fördelningar är kvantilen det minsta värdet x med P(X ≤ x) ≥ p (den definition som R använder). Statable visar den sannolikhet som faktiskt nås, eftersom den oftast ligger något över p, då det bara finns heltalsvärden. Det är inte ett tests förkastelseområde: det bestäms av rutan ”Förstå testet för en andel” enligt skolregeln.

Egen fördelning

Skriv in värden x och sannolikheter P(x) i en tabell, som decimaltal eller bråk (1/6). Statable beräknar E(X) = Σ x · P(x) och Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Om summan inte är 1 justeras ingenting i tysthet: en fråga visas om avrundade värden har använts, med valen ”Skala om till 1” och ”Behåll som det är”. E(X) är medelvärdet i det långa loppet, inte det vanligaste värdet.

Normalapproximation av binomialfördelningen

• Normalkurvan med μ = n · p och σ = √(n · p · (1 − p)) ligger över staplarna. P(a ≤ X ≤ b) visas exakt bredvid approximationen utan och med kontinuitetskorrektion. Korrektionen räknar från a − ½ till b + ½, eftersom stapel k sträcker sig från k − ½ till k + ½; den är noggrannare, en del skolor räknar utan den.
• Villkor för approximationen (Laplace condition): om σ är större än 3 anses approximationen användbar; annars är den grov. Symbolen ✓ eller ! står bredvid texten, enbart färg bär ingen information.
• Sigmaregeln: tabellen visar 1σ, 2σ, 3σ och skolvärdena 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ med approximationen och den exakta binomialsannolikheten för de hela gränserna. Skolvärdena är avrundade, de exakta är 1,6449, 1,9600 och 2,5758; 1,64σ ger alltså bara ungefär 89,9 % och inte ”90 %”.

Väntevärde, varians och standardavvikelse

Varje fördelning visar μ, σ² och σ. Det som inte finns anges och visas inte som ”NaN”: t-fördelningen har inget väntevärde för högst 1 frihetsgrad och ingen ändlig varians för högst 2; F-fördelningen har ett väntevärde från df₂ > 2 och en varians från df₂ > 4.

Hypergeometrisk

Statable anger N (element totalt), K (därav träffar) och n (dragna utan återläggning), som man lär sig i skolan. R skriver phyper(q, m, n, k) med m = K träffar, n = N − K missar och k = dragna; namnen skiljer sig, resultatet inte. Exempel lotto ”6 av 49”: N = 49, K = 6, n = 6.

För specialister

Täthetsfunktioner enligt Loader (1999, som i R dbinom, dpois, dhyper), svansar genom summering från modalvärdet utåt, beta- och gammafunktioner med kedjebråk, t- och F-fördelningar via betafunktionen. Kvantiler för kontinuerliga fördelningar stämmer med R till ett relativt fel på 1e-8, kvantiler för diskreta fördelningar exakt. Kontrollerat mot R och mot PSPP; tryckta exempel: tabell över binomialfördelningens fördelningsfunktion n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabell över standardnormalfördelningen.

Källor

• KMK (Ständiga konferensen för Tysklands utbildningsministrar): bildningsstandarder i matematik för allmän högskolebehörighet (Abitur, 2012), ledande idé ”data och slump” (binomialfördelning, väntevärde och standardavvikelse för diskreta stokastiska variabler, simuleringar).
• Lösungswege 8 (ÖBV, österrikisk lärobok), kapitel 5 till 7: kontinuerliga stokastiska variabler, normalfördelning med approximation av binomialfördelningen.
• Lärarutbildningen i Baden-Württemberg: binomial- och normalfördelning, villkor för approximationen (Laplace condition), kontinuitetskorrektion.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.