Obliczanie rozkładów: prawdopodobieństwo, kwantyl, wartość oczekiwana

W skrócie

Wybierz rozkład, wpisz parametry, zadaj pytanie: „co najwyżej (≤)”, „mniej niż (<)”, „co najmniej (≥)”, „więcej niż (>)”, „między a i b” albo „wartość dla prawdopodobieństwa”. Wynik pojawia się jako liczba dziesiętna i w procentach (0,0443 = 4,43%), jako zdanie i jako wykres z pokolorowanym i zakreskowanym obszarem lub zakreskowanymi słupkami.

Dyskretny czy ciągły

• W rozkładach dwumianowym, Poissona, hipergeometrycznym i własnych X przyjmuje wartości całkowite. „Co najwyżej 5” to wtedy nie to samo co „mniej niż 5”: sama wartość 5 ma własne prawdopodobieństwo. To najczęstszy błąd szkolny, dlatego Statable pokazuje wszystkie cztery pytania jedno pod drugim.
• W rozkładach normalnym, t, χ² i F pojedyncze wartości mają prawdopodobieństwo 0. „Co najwyżej” i „mniej niż” oznaczają tam to samo, tak samo „co najmniej” i „więcej niż”.

Kwantyl

Dla rozkładów dyskretnych kwantyl to najmniejsza wartość x, dla której P(X ≤ x) ≥ p (definicja stosowana w R). Statable pokazuje faktycznie osiągnięte prawdopodobieństwo, ponieważ zwykle jest ono nieco wyższe niż p, gdyż istnieją tylko wartości całkowite. To nie jest obszar krytyczny testu: wyznacza go kafelek „Zrozumienie testu dla proporcji” według reguły szkolnej.

Własny rozkład

Wpisz wartości x i prawdopodobieństwa P(x) w tabeli, jako liczby dziesiętne lub ułamki (1/6). Statable oblicza E(X) = Σ x · P(x) i Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Jeśli suma nie wynosi 1, nic nie jest po cichu korygowane: pojawia się pytanie, czy użyto zaokrąglonych wartości, z wyborem „Przeskaluj do 1” i „Zostaw bez zmian”. E(X) to średnia w długim okresie, a nie najczęstsza wartość.

Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym

• Krzywa normalna z μ = n · p i σ = √(n · p · (1 − p)) leży nad słupkami. P(a ≤ X ≤ b) jest pokazane dokładnie obok przybliżenia bez poprawki na ciągłość i z nią. Poprawka liczy od a − ½ do b + ½, ponieważ słupek k sięga od k − ½ do k + ½; jest dokładniejsza, niektóre szkoły liczą bez niej.
• Warunek przybliżenia normalnego (Laplace condition): jeśli σ jest większe niż 3, przybliżenie uważa się za użyteczne; w przeciwnym razie jest zgrubne. Obok tekstu stoi symbol ✓ lub !, sam kolor nie niesie żadnej informacji.
• Reguła trzech sigm: tabela pokazuje 1σ, 2σ, 3σ oraz wartości szkolne 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ z przybliżeniem i dokładnym prawdopodobieństwem dwumianowym dla granic całkowitoliczbowych. Wartości szkolne są zaokrąglone, dokładne to 1,6449, 1,9600 i 2,5758; dlatego 1,64σ daje tylko około 89,9%, a nie „90%”.

Wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe

Każdy rozkład pokazuje μ, σ² i σ. To, co nie istnieje, jest tak opisane i nie jest pokazywane jako „NaN”: rozkład t nie ma wartości oczekiwanej dla co najwyżej 1 stopnia swobody ani skończonej wariancji dla co najwyżej 2; rozkład F ma wartość oczekiwaną od df₂ > 2 i wariancję od df₂ > 4.

Hipergeometryczny

Statable oznacza N (wszystkie elementy), K (w tym sukcesy) i n (wylosowane bez zwracania), jak w szkole. R pisze phyper(q, m, n, k) z m = K sukcesów, n = N − K porażek i k = wylosowane; nazwy się różnią, wynik nie. Przykład lotto „6 z 49”: N = 49, K = 6, n = 6.

Dla specjalistów

Gęstości według Loadera (1999, jak w R dbinom, dpois, dhyper), ogony przez sumowanie od mody na zewnątrz, funkcje beta i gamma z ułamkami łańcuchowymi, rozkłady t i F przez funkcję beta. Kwantyle rozkładów ciągłych zgadzają się z R do względnych 1e-8, kwantyle rozkładów dyskretnych dokładnie. Sprawdzone względem R i PSPP; przykłady z druku: tabela dystrybuanty rozkładu dwumianowego n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabela standardowego rozkładu normalnego.

Źródła

• KMK (Stała Konferencja Ministrów Edukacji Niemiec): standardy edukacyjne z matematyki dla ogólnego uprawnienia do podjęcia studiów (2012), idea przewodnia „dane i przypadek” (rozkład dwumianowy, wartość oczekiwana i odchylenie standardowe dyskretnych zmiennych losowych, symulacje).
• Lösungswege 8 (ÖBV, austriacki podręcznik), rozdziały 5-7: ciągłe zmienne losowe, rozkład normalny z przybliżeniem rozkładu dwumianowego.
• Kształcenie nauczycieli w Badenii-Wirtembergii: rozkład dwumianowy i normalny, warunek przybliżenia normalnego (Laplace condition), poprawka na ciągłość.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.