Calcola distribuzioni: probabilità, quantile, valore atteso

In breve

Scegli una distribuzione, inserisci i parametri e poni la domanda: «al massimo (≤)», «minore di (<)», «almeno (≥)», «maggiore di (>)», «tra a e b» oppure «valore per una probabilità». Il risultato appare come decimale e in percentuale (0,0443 = 4,43%), come frase e come grafico con l’area colorata e tratteggiata oppure le barre tratteggiate.

Discreta o continua

• Per le distribuzioni binomiale, di Poisson, ipergeometrica e propria, X conta valori interi. «Al massimo 5» allora non è uguale a «minore di 5»: il valore 5 stesso ha una propria probabilità. È l’errore scolastico più comune, per questo Statable mostra le quattro domande una sotto l’altra.
• Per le distribuzioni normale, t, χ² e F i singoli valori hanno probabilità 0. «Al massimo» e «minore di» coincidono lì, e così «almeno» e «maggiore di».

Quantile

Per le distribuzioni discrete il quantile è il più piccolo valore x con P(X ≤ x) ≥ p (la definizione usata da R). Statable mostra la probabilità effettivamente raggiunta, perché di solito è un po' superiore a p, dato che esistono solo valori interi. Non è la regione di rifiuto di un test: quella è determinata dal riquadro «Comprendi il test per una proporzione» con la regola scolastica.

Distribuzione propria

Inserisci in una tabella valori x e probabilità P(x), come decimali o frazioni (1/6). Statable calcola E(X) = Σ x · P(x) e Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Se la somma non è 1, nulla viene corretto in silenzio: compare una domanda se sono stati usati valori arrotondati, con le scelte «Riporta a 1» e «Lascia così». E(X) è la media a lungo andare, non il valore più frequente.

Approssimazione normale della distribuzione binomiale

• La curva normale con μ = n · p e σ = √(n · p · (1 − p)) è sovrapposta alle barre. P(a ≤ X ≤ b) viene mostrata in modo esatto accanto all’approssimazione senza e con correzione di continuità. La correzione calcola da a − ½ a b + ½, perché la barra k va da k − ½ a k + ½; è più accurata, alcune scuole calcolano senza.
• Condizione di validità: se σ è maggiore di 3, l’approssimazione è considerata utilizzabile; altrimenti è grossolana. Il simbolo ✓ o ! compare accanto al testo, il colore da solo non trasmette informazioni.
• Regola sigma: la tabella mostra 1σ, 2σ, 3σ e i valori scolastici 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ con l’approssimazione e la probabilità binomiale esatta degli estremi interi. I valori scolastici sono arrotondati, quelli esatti sono 1,6449, 1,9600 e 2,5758; perciò 1,64σ dà solo circa l'89,9% invece del «90%».

Valore atteso, varianza e deviazione standard

Ogni distribuzione mostra μ, σ² e σ. Ciò che non esiste viene indicato e non mostrato come «NaN»: la distribuzione t non ha valore atteso con al massimo 1 grado di libertà e non ha varianza finita con al massimo 2; la distribuzione F ha un valore atteso da df₂ > 2 e una varianza da df₂ > 4.

Ipergeometrica

Statable indica N (elementi in totale), K (di cui successi) e n (estratti senza reinserimento), come si insegna a scuola. R scrive phyper(q, m, n, k) con m = K successi, n = N − K insuccessi e k = estratti; i nomi differiscono, il risultato no. Esempio lotto «6 su 49»: N = 49, K = 6, n = 6.

Per specialisti

Densità secondo Loader (1999, come in R dbinom, dpois, dhyper), code per somma dalla moda verso l’esterno, funzioni beta e gamma con frazioni continue, distribuzioni t e F tramite la funzione beta. I quantili delle distribuzioni continue concordano con R con un errore relativo di 1e-8, quelli delle distribuzioni discrete esattamente. Verificato con R e con PSPP; esempi stampati: tabella della funzione di ripartizione binomiale n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabella della normale standard.

Fonti

• KMK (Conferenza permanente dei ministri dell’istruzione tedeschi): standard di formazione in matematica per la maturità generale (Abitur, 2012), idea guida «dati e caso» (distribuzione binomiale, valore atteso e deviazione standard di variabili casuali discrete, simulazioni).
• Lösungswege 8 (ÖBV, libro di testo austriaco), capitoli da 5 a 7: variabili casuali continue, distribuzione normale con approssimazione della distribuzione binomiale.
• Formazione degli insegnanti del Baden-Württemberg: distribuzione binomiale e normale, condizione di validità, correzione di continuità.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.