Comprendi il test per una proporzione: regione di rifiuto, α effettivo, intervallo di previsione

In breve

Sotto H₀, X ha distribuzione binomiale con n e p₀. Dal livello di significatività α il riquadro determina la regione di rifiuto K, cioè i numeri di successi per cui H₀ viene rifiutata. Esempio n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, unilaterale destro: K = {59, …, 100}. Con almeno 59 successi H₀ viene rifiutata.

Regione di rifiuto K e α effettivo

• Unilaterale destro (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} con il più piccolo g per cui P(X ≥ g) ≤ α. Unilaterale sinistro (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} con il più grande k per cui P(X ≤ k) ≤ α. Bilaterale (H₁: p ≠ p₀): entrambi i lati con α / 2 ciascuno.
• L’α effettivo è la probabilità con cui K si verifica sotto H₀. Non supera mai l’α scelto, ma spesso è inferiore, perché X assume solo valori interi (4,43% invece del 5% nell’esempio). Statable lo mostra sempre.
• Se K è vuoto, compare: «Con questo n, H₀ non può mai essere rifiutata al livello α». Succede con n piccolo e α piccolo.

Valore p e decisione

Unilaterale, p = P(X ≥ x) oppure P(X ≤ x). Bilaterale, Statable raddoppia il valore unilaterale più piccolo: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Così vale sempre che x si trova in K esattamente quando p ≤ α. Decisione e valore p non si contraddicono mai. R (binom.test) calcola il test bilaterale in modo diverso (somma di tutte le probabilità che sono al massimo grandi quanto P(X = x)); per p₀ ≠ 0,5 il valore p può essere più piccolo lì. Esempio n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: raddoppio 0,0041, binom.test 0,0033. Per p₀ = 0,5 i due coincidono.

Non rifiutare non significa che H₀ sia vera

Se x non è in K, la frase dice: «I dati offrono troppo poche evidenze che p sia diversa da p₀». Non è una prova che H₀ sia vera. «Significativo» vale solo insieme al livello al quale lo si dice.

Errore di tipo II e potenza

Errore di tipo I: H₀ viene rifiutata anche se è vera; la sua probabilità è l’α effettivo. Errore di tipo II: H₀ non viene rifiutata anche se in realtà vale un’altra proporzione p₁; la sua probabilità è β = P(X ∉ K | p₁). La potenza 1 − β = P(X ∈ K | p₁) è la probabilità di trovare la differenza. Esempio n = 100, p₀ = 0,5, unilaterale destro, p₁ = 0,6: β = 37,75%, potenza 62,25%.

Intervallo di previsione o intervallo di confidenza?

L’intervallo di previsione vale quando p è noto: dà l’intervallo [a; b] del numero di successi che si verifica con una probabilità di almeno 1 − α (inferenza in avanti). È il corrispettivo di K bilaterale. Esempio n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], quindi proporzioni da 0,40 a 0,60. L’intervallo di confidenza vale quando si osserva x: dà l’intervallo per p (inferenza all’indietro; riquadro «Calcola da valori riassuntivi»). L’approssimazione sigma μ ± 1,96 σ è mostrata accanto per confronto.

Per specialisti

Tutti i numeri sono somme binomiali esatte. K viene confrontato con α con una tolleranza di 1e-7 (come fa R in caso di uguaglianza, per esempio P = 0,05 esattamente). Il valore p bilaterale è il metodo «centrale» (raddoppio); coincide con l’intervallo di Clopper-Pearson ed è disponibile nel pacchetto R exactci come binom.exact(…, tsmethod = «central»). Verificato con R (qbinom, pbinom, dbinom) e con un ciclo su tutte le regioni di rifiuto, esempi stampati: formazione degli insegnanti del Baden-Württemberg (chip di memoria, dadi, mensa).

Fonti

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: standard di formazione in matematica, maturità generale (Abitur, 2012), idea guida «dati e caso»; Lösungswege 8 (ÖBV, libro di testo austriaco), capitolo 7: verifica di ipotesi unilaterale e bilaterale con la distribuzione binomiale.
• Formazione degli insegnanti del Baden-Württemberg: verifica di ipotesi (stocastica).