Anteilstest verstehen: Ablehnungsbereich, tatsächliches α, Prognoseintervall

Kurz

Unter H₀ gilt: X ist binomialverteilt mit n und p₀. Aus dem Signifikanzniveau α bestimmt die Kachel den Ablehnungsbereich K, also die Trefferzahlen, bei denen H₀ abgelehnt wird. Beispiel n = 100, p₀ = 0,5, α = 5 %, rechtsseitig: K = {59, …, 100}. Bei mindestens 59 Treffern wird H₀ abgelehnt.

Ablehnungsbereich K und tatsächliches α

• Rechtsseitig (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} mit dem kleinsten g, für das P(X ≥ g) ≤ α gilt. Linksseitig (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} mit dem größten k, für das P(X ≤ k) ≤ α gilt. Zweiseitig (H₁: p ≠ p₀): beide Seiten mit je α / 2.
• Das tatsächliche α ist die Wahrscheinlichkeit, mit der K unter H₀ eintritt. Es liegt nie über dem gewählten α, oft aber darunter, weil X nur ganze Werte annimmt (im Beispiel 4,43 % statt 5 %). Statable zeigt es immer an.
• Ist K leer, steht dort: „Bei diesem n kann H₀ auf dem Niveau α nie abgelehnt werden.“ Das passiert bei kleinem n und kleinem α.

p-Wert und Entscheidung

Einseitig ist p = P(X ≥ x) bzw. P(X ≤ x). Zweiseitig verdoppelt Statable den kleineren einseitigen Wert: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). So gilt immer: x liegt in K genau dann, wenn p ≤ α. Entscheidung und p-Wert widersprechen sich nie. R (binom.test) rechnet zweiseitig anders (Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die höchstens so groß sind wie P(X = x)); bei p₀ ≠ 0,5 kann der p-Wert dort kleiner sein. Beispiel n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: Verdopplung 0,0041, binom.test 0,0033. Bei p₀ = 0,5 sind beide gleich.

Nicht ablehnen heißt nicht: H₀ stimmt

Liegt x nicht in K, lautet der Satz: „Die Daten liefern zu wenig Hinweis, dass p von p₀ abweicht.“ Es ist kein Beleg dafür, dass H₀ richtig ist. „Signifikant“ gilt nur mit dem Niveau, zu dem es gesagt wird.

Fehler 2. Art und Teststärke

Fehler 1. Art: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie stimmt; seine Wahrscheinlichkeit ist das tatsächliche α. Fehler 2. Art: H₀ wird nicht abgelehnt, obwohl in Wirklichkeit ein anderer Anteil p₁ gilt; seine Wahrscheinlichkeit ist β = P(X ∉ K | p₁). Die Teststärke 1 − β = P(X ∈ K | p₁) ist die Wahrscheinlichkeit, den Unterschied zu finden. Beispiel n = 100, p₀ = 0,5, rechtsseitig, p₁ = 0,6: β = 37,75 %, Teststärke 62,25 %.

Prognoseintervall oder Konfidenzintervall?

Das Prognoseintervall gilt bei bekanntem p: Es gibt den Bereich [a; b] der Trefferzahl, der mit der Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 − α eintritt (Vorwärtsschluss). Es ist das Gegenstück zum zweiseitigen K. Beispiel n = 100, p₀ = 0,5, 5 %: [40; 60], also Anteile von 0,40 bis 0,60. Das Konfidenzintervall gilt bei beobachtetem x: Es gibt den Bereich für p an (Rückwärtsschluss; Kachel „Aus Kennzahlen rechnen“). Die Sigma-Näherung μ ± 1,96 σ steht daneben zum Vergleich.

Für Fachleute

Alle Zahlen sind exakte Binomialsummen. K wird mit der Toleranz 1e-7 gegen α verglichen (wie R bei Gleichheit, zum Beispiel P = 0,05 genau). Der zweiseitige p-Wert ist die „central“-Methode (Verdopplung); sie passt zum Clopper-Pearson-Intervall und ist im R-Paket exactci als binom.exact(…, tsmethod = "central") verfügbar. Geprüft gegen R (qbinom, pbinom, dbinom) und mit einer Schleife über alle Ablehnungsbereiche, gedruckte Beispiele: Lehrerfortbildung Baden-Württemberg (Speicherchips, Würfel, Mensa).

Quellen

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: Bildungsstandards Mathematik, Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee „Daten und Zufall“; Lösungswege 8 (ÖBV), Kapitel 7: einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest mit der Binomialverteilung.
• Lehrerfortbildung Baden-Württemberg: Testen von Hypothesen (Stochastik).