Aus Kennzahlen rechnen: Intervall, Test und Stichprobenumfang

Kurz

Liegen nur die Zahlen vor (eine Anzahl x von n oder Mittelwert, Standardabweichung und n), rechnet diese Kachel das Konfidenzintervall und den Test. Dazu kommt die Frage, wie groß die Stichprobe für ein Intervall gewünschter Breite sein muss.

Anteil

• Das Intervall ist das Wilson-Score-Intervall ohne Stetigkeitskorrektur. Der Test ist der Score-Test, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); Intervall und Test gehören zusammen (Dualität). Das Intervall ist immer zweiseitig, die Richtung des Tests (links, rechts, zwei) betrifft nur den p-Wert.
• Wird p̂ statt x eingegeben, rechnet Statable x = p̂ · n. Liegt das Ergebnis an einer ganzen Zahl (0,07 · 100 = 7), wird darauf gerundet; sonst bleibt x stehen und ein Hinweis erscheint. Nichts wird still gerundet.
• Ist n · p₀ · (1 − p₀) höchstens 9, ist die Normalnäherung des Tests grob. Den exakten Test mit der Binomialverteilung rechnet die Kachel „Anteilstest verstehen“. Mit denselben Zahlen (7 von 40, p₀ = 0,4) geben beide verschiedene p-Werte: 0,0037 für die Näherung, 0,0041 für den exakten Test mit Verdopplung.

Warum weicht das Schulbuch ab?

Viele Schulbücher rechnen die Näherungsformel p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Sie ist bei kleinem n oder Anteilen nahe 0 und 1 ungenau und kann sogar über 1 hinausragen. Wilson löst die zugehörige Ungleichung genau. Beispiel 7 von 40, 95 %: Schulformel 0,0572 bis 0,2928, Wilson 0,0875 bis 0,3195. Die Zahl im Buch ist deshalb nicht falsch gerechnet, sondern eine Näherung. (Das R-Programm prop.test hat als Voreinstellung eine Stetigkeitskorrektur und gibt hier 0,0789 bis 0,3336; Statable rechnet ohne.)

Mittelwert

Standardfehler SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE mit n − 1 Freiheitsgraden, Intervall x̄ ± t · SE und Cohens d = (x̄ − μ₀) / s. Weil die Standardabweichung der Gesamtheit unbekannt ist, wird mit t gerechnet, nicht mit z. Gesperrt sind n unter 2 und s = 0, denn dann wären t und d nicht definiert.

Stichprobenumfang für eine gewünschte Breite

• Anteil: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, Mittelwert: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, mit d als Halbbreite („± d“). Immer aufgerundet. Manche Bücher geben die ganze Länge L des Intervalls vor; dann ist d = L / 2.
• Ohne Vorwissen p = 0,5 lassen: das ist der ungünstigste Fall, kein anderes p braucht mehr Personen. Beispiele bei 95 %: ± 5 Prozentpunkte 385, ± 3 Prozentpunkte 1068, ± 2 Prozentpunkte 2401, ± 1 Prozentpunkt 9604.
• Die Formel ist die einfache Schätzung für n. Das Intervall der fertigen Stichprobe wird danach mit Wilson gerechnet. Beim Mittelwert braucht man mit t einige Personen mehr als mit z.

Raten aus Ereignissen und Personenzeit

• Die Wahl „Eine Rate“ rechnet aus der Zahl der Ereignisse und der Personenzeit je Gruppe die Rate (Ereignisse je Personenzeit) mit dem exakten Poisson-Intervall nach Garwood, das Ratenverhältnis jeder Gruppe gegen eine Vergleichsgruppe und die Ratendifferenz. Die Einheit der Zeit (Tage, Wochen, Monate, Jahre) wählt die Person selbst; Statable rät sie nie. Gezeigt wird je 1 000 Personenjahre (wählbar).
• Das Ratenverhältnis ist exakt (bedingte Binomialverteilung wie R poisson.test), die Differenz ein Wald-Intervall (Näherung, bei weniger als etwa 10 Ereignissen je Gruppe unsicher). Hat die Vergleichsgruppe kein Ereignis, ist das Verhältnis nicht definiert; Statable sagt das und zeigt den exakten p-Wert, die Differenz bleibt. Bei mehr als zwei Gruppen werden die p-Werte nicht für mehrere Vergleiche angepasst.
• Eine Rate ist kein Risiko: Sie ist nicht der Anteil der Personen, die das Ereignis hatten. Die Rechnung setzt Poisson-Streuung und eine über die Beobachtungszeit gleich bleibende Rate voraus; streuen die Zählungen stärker, sind die Intervalle zu schmal (dann die Zähl-Regression mit negativ-binomialer Verteilung nehmen). Die Personenzeit ist die Summe der tatsächlichen Beobachtungszeit, nicht Zahl der Personen mal eine mittlere Dauer.

Für Fachleute

Geprüft gegen R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) für Intervall und p-Wert, t.test für Mittelwert, Intervall und p, qnorm für die Stichprobenumfänge. Bei x = 0 ist die untere Grenze genau 0, bei x = n die obere genau 1. Bei p̂ = 0,5 ist das Wilson-Intervall nie breiter als das Wald-Intervall.

Quellen

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV), Kapitel 7: Konfidenzintervall und Stichprobenumfang eines Konfidenzintervalls.