Υπολογισμός από συνοπτικούς αριθμούς: διάστημα, έλεγχος και μέγεθος δείγματος

Εν συντομία

Αν διατίθενται μόνο οι αριθμοί (ένας αριθμός x από n, ή μέσος όρος, τυπική απόκλιση και n), αυτή η κάρτα υπολογίζει το διάστημα εμπιστοσύνης και τον έλεγχο. Απαντά επίσης στο πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το δείγμα για διάστημα επιθυμητού πλάτους.

Αναλογία

• Το διάστημα είναι το διάστημα score του Wilson χωρίς διόρθωση συνέχειας. Ο έλεγχος είναι ο έλεγχος score, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n)· το διάστημα και ο έλεγχος πάνε μαζί (δυϊσμός). Το διάστημα είναι πάντα αμφίπλευρο, η κατεύθυνση του ελέγχου (αριστερά, δεξιά, αμφίπλευρος) επηρεάζει μόνο την τιμή p.
• Αν εισαχθεί το p̂ αντί για το x, το Statable υπολογίζει x = p̂ · n. Αν το αποτέλεσμα είναι κοντά σε ακέραιο (0,07 · 100 = 7), στρογγυλοποιείται σε αυτόν· διαφορετικά το x μένει όπως είναι και εμφανίζεται μια σημείωση. Τίποτα δεν στρογγυλοποιείται σιωπηλά.
• Αν το n · p₀ · (1 − p₀) είναι το πολύ 9, η κανονική προσέγγιση του ελέγχου είναι αδρή. Ο ακριβής έλεγχος με τη διωνυμική κατανομή βρίσκεται στην κάρτα «Κατανόηση του ελέγχου για μια αναλογία». Με τους ίδιους αριθμούς (7 από 40, p₀ = 0,4) οι δύο δίνουν διαφορετικές τιμές p: 0,0037 για την προσέγγιση, 0,0041 για τον ακριβή έλεγχο με διπλασιασμό.

Γιατί διαφέρει το σχολικό βιβλίο;

Πολλά σχολικά βιβλία χρησιμοποιούν τον τύπο προσέγγισης p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Είναι ανακριβής για μικρό n ή για αναλογίες κοντά στο 0 και στο 1 και μπορεί ακόμη και να ξεπεράσει το 1. Ο Wilson λύνει ακριβώς την υποκείμενη ανισότητα. Παράδειγμα 7 από 40, 95%: τύπος σχολικού βιβλίου 0,0572 έως 0,2928, Wilson 0,0875 έως 0,3195. Ο αριθμός του βιβλίου δεν είναι λοιπόν λάθος υπολογισμένος, αλλά προσέγγιση. (Η συνάρτηση prop.test του R εφαρμόζει εξ ορισμού διόρθωση συνέχειας και δίνει εδώ 0,0789 έως 0,3336· το Statable υπολογίζει χωρίς αυτήν.)

Μέσος όρος

Τυπικό σφάλμα SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE με n − 1 βαθμούς ελευθερίας, διάστημα x̄ ± t · SE και d του Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη, χρησιμοποιείται το t και όχι το z. Τα n κάτω από 2 και s = 0 μπλοκάρονται, επειδή τα t και d δεν θα ορίζονταν.

Μέγεθος δείγματος για επιθυμητό πλάτος

• Αναλογία: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, μέσος όρος: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, με d ως μισό πλάτος («± d»). Πάντα στρογγυλοποιημένο προς τα πάνω. Ορισμένα βιβλία δίνουν ολόκληρο το μήκος L του διαστήματος· τότε d = L / 2.
• Χωρίς προηγούμενη γνώση αφήστε p = 0,5: είναι η χειρότερη περίπτωση, κανένα άλλο p δεν χρειάζεται περισσότερα άτομα. Παραδείγματα στο 95%: ± 5 ποσοστιαίες μονάδες 385, ± 3 ποσοστιαίες μονάδες 1068, ± 2 ποσοστιαίες μονάδες 2401, ± 1 ποσοστιαία μονάδα 9604.
• Ο τύπος είναι η απλή εκτίμηση για το n. Το διάστημα του ολοκληρωμένου δείγματος υπολογίζεται έπειτα με τον Wilson. Για έναν μέσο όρο, το t χρειάζεται λίγα άτομα περισσότερα από το z.

Ρυθμοί από συμβάντα και ανθρωπο-χρόνο

• Η επιλογή «Ένας ρυθμός» υπολογίζει από τον αριθμό των συμβάντων και τον ανθρωπο-χρόνο ανά ομάδα τον ρυθμό (συμβάντα ανά ανθρωπο-χρόνο) με το ακριβές διάστημα Poisson κατά Garwood, τον λόγο ρυθμών επίπτωσης κάθε ομάδας σε σχέση με μια ομάδα αναφοράς και τη διαφορά ρυθμών (rate difference). Το άτομο επιλέγει τη μονάδα χρόνου (ημέρες, εβδομάδες, μήνες, έτη)· το Statable δεν τη μαντεύει ποτέ. Οι ρυθμοί εμφανίζονται ανά 1000 ανθρωπο-έτη (επιλέξιμο).
• Ο λόγος ρυθμών είναι ακριβής (υπό συνθήκη διωνυμική κατανομή όπως στο poisson.test της R), η διαφορά ένα διάστημα Wald (προσέγγιση, αβέβαιη με λιγότερα από περίπου 10 συμβάντα ανά ομάδα). Αν η ομάδα αναφοράς δεν έχει κανένα συμβάν, ο λόγος δεν ορίζεται· το Statable το λέει και δείχνει την ακριβή τιμή p, η διαφορά παραμένει. Με περισσότερες από δύο ομάδες οι τιμές p δεν προσαρμόζονται για πολλαπλές συγκρίσεις.
• Ένας ρυθμός δεν είναι κίνδυνος: δεν είναι η αναλογία των ατόμων που είχαν το συμβάν. Ο υπολογισμός προϋποθέτει μεταβλητότητα Poisson και έναν ρυθμό που μένει ο ίδιος κατά τον χρόνο παρατήρησης· αν οι μετρήσεις διαφέρουν περισσότερο, τα διαστήματα είναι υπερβολικά στενά (χρησιμοποιήστε τότε την παλινδρόμηση καταμέτρησης με αρνητική διωνυμική κατανομή). Ο ανθρωπο-χρόνος είναι το άθροισμα του πραγματικού χρόνου παρατήρησης, όχι ο αριθμός των ατόμων επί μια μέση διάρκεια.

Για ειδικούς

Ελεγμένο έναντι του R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) για το διάστημα και την τιμή p, t.test για τον μέσο όρο, το διάστημα και το p, qnorm για τα μεγέθη δείγματος. Για x = 0 το κάτω όριο είναι ακριβώς 0, για x = n το πάνω όριο ακριβώς 1. Για p̂ = 0,5 το διάστημα Wilson δεν είναι ποτέ πλατύτερο από το διάστημα Wald.

Πηγές

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, αυστριακό σχολικό βιβλίο), κεφάλαιο 7: διάστημα εμπιστοσύνης και μέγεθος δείγματος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης.