Calcular a partir de valores resumidos: intervalo, teste e dimensão da amostra

Em resumo

Se só se dispõe dos números (um número x de n, ou média, desvio-padrão e n), este cartão calcula o intervalo de confiança e o teste. Responde também à pergunta sobre a dimensão que a amostra tem de ter para um intervalo de uma largura desejada.

Proporção

• O intervalo é o intervalo de score de Wilson sem correção de continuidade. O teste é o teste de pontuação, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); o intervalo e o teste andam juntos (dualidade). O intervalo é sempre bilateral, a direção do teste (esquerda, direita, bilateral) afeta apenas o valor p.
• Se for introduzido p̂ em vez de x, o Statable calcula x = p̂ · n. Se o resultado estiver num número inteiro (0,07 · 100 = 7), é arredondado para ele; caso contrário, x mantém-se e aparece uma nota. Nada é arredondado em silêncio.
• Se n · p₀ · (1 − p₀) for no máximo 9, a aproximação normal do teste é grosseira. O teste exato com a distribuição binomial encontra-se no cartão «Compreender o teste de uma proporção». Com os mesmos números (7 de 40, p₀ = 0,4), os dois dão valores p diferentes: 0,0037 para a aproximação, 0,0041 para o teste exato com duplicação.

Porque é que o manual é diferente?

Muitos manuais usam a fórmula de aproximação p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). É imprecisa para n pequeno ou para proporções próximas de 0 e de 1 e pode até ultrapassar 1. Wilson resolve exatamente a desigualdade de base. Exemplo 7 de 40, 95%: fórmula do manual 0,0572 a 0,2928, Wilson 0,0875 a 0,3195. O número do livro não está, portanto, mal calculado, mas é uma aproximação. (A função prop.test do R aplica por omissão uma correção de continuidade e dá aqui 0,0789 a 0,3336; o Statable calcula sem ela.)

Média

Erro-padrão SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE com n − 1 graus de liberdade, intervalo x̄ ± t · SE e d de Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Como o desvio-padrão da população é desconhecido, usa-se t e não z. n inferior a 2 e s = 0 estão bloqueados, porque t e d não estariam definidos.

Dimensão da amostra para uma largura desejada

• Proporção: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, média: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, com d como meia-largura («± d»). Sempre arredondado por excesso. Alguns livros dão o comprimento total L do intervalo; então d = L / 2.
• Sem conhecimentos prévios, deixe p = 0,5: é o pior caso, nenhum outro p precisa de mais pessoas. Exemplos a 95%: ± 5 pontos percentuais 385, ± 3 pontos percentuais 1 068, ± 2 pontos percentuais 2 401, ± 1 ponto percentual 9 604.
• A fórmula é a estimativa simples de n. O intervalo da amostra já obtida é depois calculado com Wilson. Para uma média, t precisa de mais algumas pessoas do que z.

Taxas a partir de eventos e pessoa-tempo

• A opção «Uma taxa» calcula, a partir do número de eventos e da pessoa-tempo de cada grupo, a taxa (eventos por pessoa-tempo) com o intervalo de Poisson exato segundo Garwood, a razão de taxas de cada grupo face a um grupo de referência e a diferença de taxas. A pessoa escolhe a unidade de tempo (dias, semanas, meses, anos); o Statable nunca a adivinha. As taxas são mostradas por 1000 pessoas-ano (selecionável).
• A razão de taxas é exata (distribuição binomial condicional como no poisson.test do R), a diferença é um intervalo de Wald (uma aproximação, incerta com menos de cerca de 10 eventos por grupo). Se o grupo de referência não tiver nenhum evento, a razão não está definida; o Statable di-lo e mostra o valor p exato, e a diferença mantém-se. Com mais de dois grupos, os valores p não são ajustados para comparações múltiplas.
• Uma taxa não é um risco: não é a proporção de pessoas que tiveram o evento. O cálculo pressupõe variação de Poisson e uma taxa que se mantém igual durante o tempo de observação; se as contagens variarem mais, os intervalos são demasiado estreitos (use então a regressão de contagem com distribuição binomial negativa). A pessoa-tempo é a soma do tempo de observação real, não o número de pessoas vezes uma duração média.

Para especialistas

Verificado com o R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) para o intervalo e o valor p, t.test para a média, o intervalo e p, qnorm para as dimensões da amostra. Para x = 0, o limite inferior é exatamente 0; para x = n, o limite superior é exatamente 1. Com p̂ = 0,5, o intervalo de Wilson nunca é mais largo do que o de Wald.

Fontes

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, manual escolar austríaco), capítulo 7: intervalo de confiança e dimensão da amostra de um intervalo de confiança.