Obliczanie ze statystyk podsumowujących: przedział, test i liczebność próby

W skrócie

Jeśli dostępne są tylko liczby (liczba x z n albo średnia, odchylenie standardowe i n), ten kafelek oblicza przedział ufności i test. Odpowiada też na pytanie, jak duża musi być próba dla przedziału o żądanej szerokości.

Proporcja

• Przedział to przedział Wilsona (score) bez poprawki na ciągłość. Test to test score (score test), z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); przedział i test do siebie pasują (dualność). Przedział jest zawsze dwustronny, kierunek testu (lewy, prawy, dwustronny) wpływa tylko na wartość p.
• Jeśli zamiast x wpisano p̂, Statable oblicza x = p̂ · n. Jeśli wynik jest liczbą całkowitą (0,07 · 100 = 7), zostaje do niej zaokrąglony; w przeciwnym razie x pozostaje i pojawia się uwaga. Nic nie jest zaokrąglane po cichu.
• Jeśli n · p₀ · (1 − p₀) wynosi co najwyżej 9, przybliżenie normalne testu jest zgrubne. Dokładny test z rozkładem dwumianowym znajduje się w kafelku „Zrozumienie testu dla proporcji”. Przy tych samych liczbach (7 z 40, p₀ = 0,4) oba dają różne wartości p: 0,0037 dla przybliżenia, 0,0041 dla testu dokładnego z podwojeniem.

Dlaczego podręcznik podaje co innego?

Wiele podręczników używa wzoru przybliżonego p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Jest niedokładny przy małym n lub proporcjach bliskich 0 i 1 i może nawet przekroczyć 1. Wilson rozwiązuje leżącą u podstaw nierówność dokładnie. Przykład 7 z 40, 95%: wzór podręcznikowy od 0,0572 do 0,2928, Wilson od 0,0875 do 0,3195. Liczba w książce nie jest więc błędnie obliczona, lecz jest przybliżeniem. (Funkcja R prop.test domyślnie stosuje poprawkę na ciągłość i daje tu od 0,0789 do 0,3336; Statable oblicza bez niej.)

Średnia

Błąd standardowy SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE przy n − 1 stopniach swobody, przedział x̄ ± t · SE oraz d Cohena = (x̄ − μ₀) / s. Ponieważ odchylenie standardowe w populacji jest nieznane, używa się t, a nie z. n poniżej 2 i s = 0 są zablokowane, ponieważ t i d nie byłyby określone.

Liczebność próby dla żądanej szerokości

• Proporcja: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, średnia: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, gdzie d to połowa szerokości („± d”). Zawsze zaokrąglane w górę. Niektóre książki podają całą długość L przedziału; wtedy d = L / 2.
• Bez wiedzy wstępnej zostaw p = 0,5: to najgorszy przypadek, żadne inne p nie wymaga więcej osób. Przykłady przy 95%: ± 5 p.p. 385, ± 3 p.p. 1068, ± 2 p.p. 2401, ± 1 p.p. 9604.
• Wzór to proste oszacowanie n. Przedział dla gotowej próby jest potem obliczany metodą Wilsona. Dla średniej t potrzebuje nieco więcej osób niż z.

Zapadalność ze zdarzeń i osobo-czasu

• Wybór „Zapadalność” oblicza z liczby zdarzeń i osobo-czasu (person-time) w grupie zapadalność (zdarzenia na osobo-czas) z dokładnym przedziałem Poissona według Garwooda, iloraz zapadalności każdej grupy względem grupy odniesienia oraz różnicę zapadalności (rate difference). Osoba wybiera jednostkę czasu (dni, tygodnie, miesiące, lata); Statable nigdy jej nie zgaduje. Zapadalność jest pokazywana na 1000 osobolat (do wyboru).
• Iloraz zapadalności jest dokładny (warunkowy rozkład dwumianowy jak w R poisson.test), różnica to przedział Walda (przybliżenie, niepewne przy mniej niż około 10 zdarzeniach na grupę). Jeśli grupa odniesienia nie ma zdarzenia, iloraz jest niezdefiniowany; Statable mówi o tym i pokazuje dokładne p, różnica pozostaje. Przy więcej niż dwóch grupach wartości p nie są korygowane na wielokrotne porównania.
• Zapadalność nie jest ryzykiem: nie jest to proporcja osób, które miały zdarzenie. Obliczenie zakłada zmienność Poissona i zapadalność stałą w czasie obserwacji; jeśli liczby zmieniają się bardziej, przedziały są zbyt wąskie (użyj wtedy regresji zliczeniowej z rozkładem dwumianowym ujemnym). Osobo-czas to suma faktycznego czasu obserwacji, a nie liczba osób razy przeciętny czas trwania.

Dla specjalistów

Sprawdzone względem R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) dla przedziału i wartości p, t.test dla średniej, przedziału i p, qnorm dla liczebności prób. Dla x = 0 dolna granica wynosi dokładnie 0, dla x = n górna granica dokładnie 1. Przy p̂ = 0,5 przedział Wilsona nigdy nie jest szerszy niż przedział Walda.

Źródła

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, austriacki podręcznik), rozdział 7: przedział ufności i liczebność próby dla przedziału ufności.