Изчисляване от обобщени статистики: интервал, критерий и обем на извадката

Накратко

Ако са налични само числата (брой x от n или средна стойност, стандартно отклонение и n), тази плочка изчислява доверителния интервал и критерия. Тя отговаря и на въпроса колко голяма трябва да е извадката за интервал с желана ширина.

Дял

• Интервалът е интервалът на Уилсън (скор) без корекция за непрекъснатост. Критерият е скор критерият, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); интервалът и критерият си съответстват (дуалност). Интервалът е винаги двустранен, посоката на критерия (ляв, десен, двустранен) влияе само на p-стойността.
• Ако вместо x е въведено p̂, Statable изчислява x = p̂ · n. Ако резултатът е цяло число (0,07 · 100 = 7), той се закръглява до него; иначе x остава и се появява бележка. Нищо не се закръглява мълчаливо.
• Ако n · p₀ · (1 − p₀) е най-много 9, нормалното приближение на критерия е грубо. Точният критерий с биномното разпределение е в плочката „Разбиране на критерия за дял“. При същите числа (7 от 40, p₀ = 0,4) двата дават различни p-стойности: 0,0037 за приближението, 0,0041 за точния критерий с удвояване.

Защо учебникът дава друго?

Много учебници използват формулата за приближение p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Валд). Тя е неточна при малко n или при дялове близо до 0 и 1 и може дори да надхвърли 1. Уилсън решава основното неравенство точно. Пример 7 от 40, 95%: формула от учебника от 0,0572 до 0,2928, Уилсън от 0,0875 до 0,3195. Числото в книгата следователно не е сгрешено, а е приближение. (Функцията на R prop.test по подразбиране прилага корекция за непрекъснатост и тук дава от 0,0789 до 0,3336; Statable изчислява без нея.)

Средна стойност

Стандартна грешка SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE с n − 1 степени на свобода, интервал x̄ ± t · SE и d на Коен = (x̄ − μ₀) / s. Тъй като стандартното отклонение в генералната съвкупност е неизвестно, се използва t, а не z. n под 2 и s = 0 са блокирани, защото t и d не биха били дефинирани.

Обем на извадката за желана ширина

• Дял: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, средна стойност: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, където d е полуширината („± d“). Винаги закръглено нагоре. Някои книги дават цялата дължина L на интервала; тогава d = L / 2.
• Без предварителни знания оставете p = 0,5: това е най-неблагоприятният случай, никое друго p не изисква повече хора. Примери при 95%: ± 5 п.п. 385, ± 3 п.п. 1068, ± 2 п.п. 2401, ± 1 п.п. 9604.
• Формулата е простата оценка за n. Интервалът на готовата извадка след това се изчислява по Уилсън. При средна стойност t изисква малко повече хора от z.

Честоти от събития и човеко-време

• Изборът „Честота на събитията“ изчислява от броя на събитията и човеко-времето (person-time) по група честотата (събития на човеко-време) с точния интервал на Поасон по Гарууд, отношението на честотите на всяка група спрямо референтна група и разликата в честотите (rate difference). Човекът избира единицата за време (дни, седмици, месеци, години); Statable никога не я отгатва. Честотите се показват на 1000 човеко-години (по избор).
• Отношението на честотите е точно (условно биномно разпределение като в R poisson.test), разликата е интервал на Уолд (приближение, несигурно при по-малко от около 10 събития на група). Ако референтната група няма събитие, отношението не е определено; Statable го казва и показва точното p, разликата остава. При повече от две групи p-стойностите не са коригирани за множествени сравнения.
• Честотата не е риск: не е делът на хората, които са имали събитието. Изчислението предполага вариация на Поасон и честота, която остава една и съща през времето на наблюдение; ако бройките варират повече, интервалите са твърде тесни (използвайте тогава регресията за броене с отрицателно биномно разпределение). Човеко-времето (person-time) е сумата от действителното време на наблюдение, а не броят на хората, умножен по средна продължителност.

За специалисти

Проверено спрямо R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) за интервала и p-стойността, t.test за средна стойност, интервал и p, qnorm за обемите на извадките. За x = 0 долната граница е точно 0, за x = n горната граница е точно 1. При p̂ = 0,5 интервалът на Уилсън никога не е по-широк от интервала на Валд.

Източници

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, австрийски учебник), глава 7: доверителен интервал и обем на извадката за доверителен интервал.