Разбиране на критерия за дял: критична област, действително α, предсказващ интервал (prediction interval)

Накратко

При H₀ X е биномно разпределена с n и p₀. От нивото на значимост α плочката определя критичната област K - броя успехи, при които H₀ се отхвърля. Пример n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, дясностранно: K = {59, …, 100}. При най-малко 59 успеха H₀ се отхвърля.

Критична област K и действително α

• Дясностранен (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} с най-малкото g, за което P(X ≥ g) ≤ α. Лявостранен (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} с най-голямото k, за което P(X ≤ k) ≤ α. Двустранен (H₁: p ≠ p₀): и двете страни по α / 2.
• Действителното α е вероятността, с която K настъпва при H₀. То никога не е над избраното α, но често е под него, защото X приема само цели стойности (4,43% вместо 5% в примера). Statable винаги го показва.
• Ако K е празно, се показва: „При това n H₀ никога не може да бъде отхвърлена на ниво α.“ Това се случва при малко n и малко α.

p-стойност и решение

Едностранно: p = P(X ≥ x) или P(X ≤ x). Двустранно Statable удвоява по-малката едностранна стойност: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Така винаги важи: x лежи в K точно тогава, когато p ≤ α. Решението и p-стойността никога не си противоречат. R (binom.test) изчислява двустранната стойност по друг начин (сума на всички вероятности, които са най-много толкова големи, колкото P(X = x)); за p₀ ≠ 0,5 p-стойността там може да е по-малка. Пример n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: удвояване 0,0041, binom.test 0,0033. За p₀ = 0,5 двете са еднакви.

Неотхвърлянето не означава, че H₀ е вярна

Ако x не лежи в K, изречението гласи: „Данните дават твърде малко доказателства, че p се различава от p₀.“ Това не е доказателство, че H₀ е вярна. „Статистически значим“ има смисъл само заедно с нивото, на което се казва.

Грешка от втори род и статистическа мощност

Грешка от първи род: H₀ се отхвърля, макар да е вярна; вероятността ѝ е действителното α. Грешка от втори род: H₀ не се отхвърля, макар в действителност да важи друг дял p₁; вероятността ѝ е β = P(X ∉ K | p₁). Статистическата мощност (statistical power) 1 − β = P(X ∈ K | p₁) е вероятността разликата да бъде открита. Пример n = 100, p₀ = 0,5, дясностранно, p₁ = 0,6: β = 37,75%, мощност 62,25%.

Предсказващ или доверителен интервал?

Предсказващият интервал (prediction interval) важи, когато p е известно: той дава обхвата [a; b] на броя успехи, който настъпва с вероятност поне 1 − α (извод напред). Той е съответствието на двустранното K. Пример n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], т.е. дялове от 0,40 до 0,60. Доверителният интервал важи, когато е наблюдавано x: той дава обхвата за p (извод назад; плочката „Изчисляване от обобщени статистики“). До него за сравнение се показва сигма приближението μ ± 1,96 σ.

За специалисти

Всички числа са точни биномни суми. K се сравнява с α с толеранс 1e-7 (както прави R при равенство, например точно P = 0,05). Двустранната p-стойност е „централният“ метод (удвояване); съвпада с интервала на Клопър-Пирсън и е достъпна в пакета на R exactci като binom.exact(…, tsmethod = "central"). Проверено спрямо R (qbinom, pbinom, dbinom) и с цикъл през всички критични области, печатни примери: обучение на учители в Баден-Вюртемберг (чипове памет, зарове, столова).

Източници

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: образователни стандарти по математика, общо средно образование с право на висше (2012), водеща идея „данни и случайност“; Lösungswege 8 (ÖBV, австрийски учебник), глава 7: едностранен и двустранен критерий за хипотеза с биномно разпределение.
• Обучение на учители в Баден-Вюртемберг: проверка на хипотези (стохастика).