De toets voor een proportie begrijpen: kritiek gebied, werkelijke α, voorspellingsinterval

Kort

Onder H₀ is X binomiaal verdeeld met n en p₀. Uit het significantieniveau α bepaalt de tegel het kritieke gebied K, dus de aantallen successen waarbij H₀ wordt verworpen. Voorbeeld n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, rechtseenzijdig: K = {59, …, 100}. Bij minstens 59 successen wordt H₀ verworpen.

Kritiek gebied K en werkelijke α

• Rechtseenzijdig (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} met de kleinste g waarvoor P(X ≥ g) ≤ α. Linkseenzijdig (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} met de grootste k waarvoor P(X ≤ k) ≤ α. Tweezijdig (H₁: p ≠ p₀): beide kanten met telkens α / 2.
• De werkelijke α is de kans waarmee K onder H₀ optreedt. Ze is nooit hoger dan de gekozen α, maar vaak lager, omdat X alleen gehele waarden aanneemt (4,43% in plaats van 5% in het voorbeeld). Statable toont haar altijd.
• Als K leeg is, staat er: “Met deze n kan H₀ op het niveau α nooit worden verworpen.” Dat gebeurt bij kleine n en kleine α.

p-waarde en beslissing

Eenzijdig: p = P(X ≥ x) of P(X ≤ x). Tweezijdig verdubbelt Statable de kleinste eenzijdige waarde: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Zo geldt altijd dat x precies in K ligt als p ≤ α. Beslissing en p-waarde spreken elkaar nooit tegen. R (binom.test) rekent tweezijdig anders (som van alle kansen die hoogstens even groot zijn als P(X = x)); bij p₀ ≠ 0,5 kan de p-waarde daar kleiner zijn. Voorbeeld n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: verdubbeling 0,0041, binom.test 0,0033. Bij p₀ = 0,5 zijn beide gelijk.

Niet verwerpen betekent niet dat H₀ waar is

Als x niet in K ligt, staat er: “De gegevens geven te weinig aanwijzing dat p afwijkt van p₀.” Het is geen bewijs dat H₀ waar is. “Significant” geldt alleen samen met het niveau waarop het wordt gezegd.

Type II-fout en power

Type I-fout: H₀ wordt verworpen terwijl ze waar is; de kans daarop is de werkelijke α. Type II-fout: H₀ wordt niet verworpen terwijl in werkelijkheid een andere proportie p₁ geldt; de kans daarop is β = P(X ∉ K | p₁). De power 1 − β = P(X ∈ K | p₁) is de kans om het verschil te vinden. Voorbeeld n = 100, p₀ = 0,5, rechtseenzijdig, p₁ = 0,6: β = 37,75%, power 62,25%.

Voorspellingsinterval of betrouwbaarheidsinterval?

Het voorspellingsinterval geldt als p bekend is: het geeft het bereik [a; b] van het aantal successen dat met een kans van minstens 1 − α optreedt (vooruit redeneren). Het is het tegenstuk van het tweezijdige K. Voorbeeld n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], dus proporties van 0,40 tot 0,60. Het betrouwbaarheidsinterval geldt als x is waargenomen: het geeft het bereik voor p (achteruit redeneren; tegel “Berekenen uit samenvattende getallen”). De sigma-benadering μ ± 1,96 σ staat ter vergelijking ernaast.

Voor specialisten

Alle getallen zijn exacte binomiale sommen. K wordt met α vergeleken met een tolerantie van 1e-7 (zoals R bij gelijkheid doet, bijvoorbeeld P = 0,05 precies). De tweezijdige p-waarde is de “centrale” methode (verdubbeling); ze komt overeen met het Clopper-Pearson-interval en is beschikbaar in het R-pakket exactci als binom.exact(…, tsmethod = “central”). Gecontroleerd tegen R (qbinom, pbinom, dbinom) en met een lus over alle kritieke gebieden, gedrukte voorbeelden: lerarenopleiding Baden-Württemberg (geheugenchips, dobbelstenen, kantine).

Bronnen

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: onderwijsstandaarden wiskunde, algemene toelating tot het hoger onderwijs (Abitur, 2012), leidend idee “gegevens en toeval”; Lösungswege 8 (ÖBV, Oostenrijks leerboek), hoofdstuk 7: eenzijdige en tweezijdige hypothesetoets met de binomiale verdeling.
• Lerarenopleiding Baden-Württemberg: hypothesen toetsen (stochastiek).