Az arányra vonatkozó próba megértése: elutasítási régió, tényleges α, előrejelzési intervallum (forecast interval)

Röviden

H₀ mellett X binomiális eloszlású n és p₀ paraméterrel. Az α szignifikanciaszintből a csempe meghatározza a K elutasítási régiót, azokat a sikerszámokat, amelyeknél H₀-t elutasítjuk. Példa n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, jobboldali: K = {59, …, 100}. Legalább 59 siker esetén H₀-t elutasítjuk.

K elutasítási régió és tényleges α

• Jobboldali (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} a legkisebb g-vel, amelyre P(X ≥ g) ≤ α. Baloldali (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} a legnagyobb k-val, amelyre P(X ≤ k) ≤ α. Kétoldalas (H₁: p ≠ p₀): mindkét oldal α / 2-vel.
• A tényleges α annak a valószínűsége, hogy K bekövetkezik H₀ mellett. Sosem nagyobb a választott α-nál, de gyakran kisebb, mert X csak egész értékeket vesz fel (a példában 4,43% az 5% helyett). A Statable mindig megmutatja.
• Ha K üres, ez áll: „Ennél az n-nél H₀ sosem utasítható el az α szinten.” Ez kis n és kis α esetén fordul elő.

p-érték és döntés

Egyoldalas: p = P(X ≥ x) vagy P(X ≤ x). Kétoldalasnál a Statable a kisebb egyoldalas érték kétszeresét veszi: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Így mindig igaz: x pontosan akkor esik K-ba, ha p ≤ α. A döntés és a p-érték sosem mond ellent egymásnak. Az R (binom.test) a kétoldalas értéket másképp számítja (az összes olyan valószínűség összege, amely legfeljebb akkora, mint P(X = x)); p₀ ≠ 0,5 esetén a p-érték ott kisebb lehet. Példa n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: megduplázás 0,0041, binom.test 0,0033. p₀ = 0,5 esetén mindkettő ugyanaz.

Az el nem utasítás nem jelenti, hogy H₀ igaz

Ha x nem esik K-ba, a mondat így szól: „Az adatok túl kevés bizonyítékot adnak arra, hogy p eltér p₀-tól.” Ez nem bizonyíték arra, hogy H₀ igaz. A „statisztikailag szignifikáns” csak azzal a szinttel együtt érvényes, amelyen kimondják.

Másodfajú hiba és statisztikai erő

Elsőfajú hiba: H₀-t elutasítjuk, noha igaz; valószínűsége a tényleges α. Másodfajú hiba: H₀-t nem utasítjuk el, noha a valóságban más p₁ arány érvényes; valószínűsége β = P(X ∉ K | p₁). A statisztikai erő 1 − β = P(X ∈ K | p₁) a különbség megtalálásának valószínűsége. Példa n = 100, p₀ = 0,5, jobboldali, p₁ = 0,6: β = 37,75%, statisztikai erő 62,25%.

Előrejelzési intervallum (forecast interval) vagy konfidenciaintervallum?

Az előrejelzési intervallum (forecast interval) akkor érvényes, ha p ismert: megadja a sikerek számának [a; b] tartományát, amely legalább 1 − α valószínűséggel fordul elő (következtetés előre). Ez a kétoldalas K párja. Példa n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], tehát 0,40-től 0,60-ig terjedő arányok. A konfidenciaintervallum akkor érvényes, ha x megfigyelt: megadja p tartományát (következtetés visszafelé; „Számítás összefoglaló adatokból” csempe). Mellette összehasonlításul a μ ± 1,96 σ szigma-közelítés látható.

Szakembereknek

Minden szám pontos binomiális összeg. K-t α-val 1e-7 tűréssel hasonlítjuk össze (ahogy az R teszi egyenlőségnél, például pontosan P = 0,05). A kétoldalas p-érték a „központi” módszer (megduplázás); egyezik a Clopper-Pearson-intervallummal, és az exactci R-csomagban binom.exact(…, tsmethod = "central") néven érhető el. Ellenőrizve az R-rel (qbinom, pbinom, dbinom) és egy ciklussal az összes elutasítási régión, nyomtatott példák: tanárképzés Baden-Württemberg (memóriachipek, kockák, étkezde).

Források

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: oktatási standardok matematikából, általános egyetemi felvételi képesítés (2012), vezérgondolat „adatok és véletlen”; Lösungswege 8 (ÖBV, osztrák tankönyv), 7. fejezet: egyoldalas és kétoldalas hipotézisvizsgálat binomiális eloszlással.
• Tanárképzés Baden-Württemberg: hipotézisvizsgálat (sztochasztika).