Comprendre le test d’une proportion : région de rejet, α réel, intervalle de fluctuation

En bref

Sous H₀, X suit une loi binomiale de paramètres n et p₀. À partir du niveau de signification α, la vignette détermine la région de rejet K, c’est-à-dire les nombres de succès pour lesquels H₀ est rejetée. Exemple n = 100, p₀ = 0,5, α = 5 %, unilatéral à droite : K = {59, …, 100}. Avec au moins 59 succès, H₀ est rejetée.

Région de rejet K et α réel

• Unilatéral à droite (H₁ : p > p₀) : K = {g, …, n}, où g est le plus petit entier tel que P(X ≥ g) ≤ α. Unilatéral à gauche (H₁ : p < p₀) : K = {0, …, k}, où k est le plus grand entier tel que P(X ≤ k) ≤ α. Bilatéral (H₁ : p ≠ p₀) : les deux côtés avec α / 2 chacun.
• Le α réel est la probabilité avec laquelle K se produit sous H₀. Il n’est jamais supérieur au α choisi, mais souvent inférieur, car X ne prend que des valeurs entières (4,43 % au lieu de 5 % dans l’exemple). Statable l’affiche toujours.
• Si K est vide, on lit : « Avec ce n, H₀ ne peut jamais être rejetée au niveau α. » Cela se produit pour un petit n et un petit α.

Valeur p et décision

Unilatéral, p = P(X ≥ x) ou P(X ≤ x). Bilatéral, Statable double la plus petite valeur unilatérale : p = min(1 ; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Ainsi, x appartient à K exactement lorsque p ≤ α. La décision et la valeur p ne se contredisent jamais. R (binom.test) calcule le test bilatéral autrement (somme de toutes les probabilités au plus égales à P(X = x)) ; pour p₀ ≠ 0,5, la valeur p peut y être plus petite. Exemple n = 40, p₀ = 0,4, x = 7 : doublement 0,0041, binom.test 0,0033. Pour p₀ = 0,5, les deux coïncident.

Ne pas rejeter ne signifie pas que H₀ est vraie

Si x n’est pas dans K, la phrase est : « Les données apportent trop peu d’éléments pour conclure que p diffère de p₀. » Ce n’est pas une preuve que H₀ est vraie. « Significatif » n’a de sens qu’avec le niveau auquel on le dit.

Erreur de type II et puissance

Erreur de type I : H₀ est rejetée alors qu’elle est vraie ; sa probabilité est le α réel. Erreur de type II : H₀ n’est pas rejetée alors qu’une autre proportion p₁ est vraie en réalité ; sa probabilité est β = P(X ∉ K | p₁). La puissance 1 − β = P(X ∈ K | p₁) est la probabilité de détecter la différence. Exemple n = 100, p₀ = 0,5, unilatéral à droite, p₁ = 0,6 : β = 37,75 %, puissance 62,25 %.

Intervalle de fluctuation ou intervalle de confiance ?

L’intervalle de fluctuation s’applique lorsque p est connu : il donne la plage [a ; b] du nombre de succès qui se produit avec une probabilité d’au moins 1 − α (raisonnement dans le sens direct). C’est le pendant du K bilatéral. Exemple n = 100, p₀ = 0,5, 5 % : [40 ; 60], donc des proportions de 0,40 à 0,60. L’intervalle de confiance s’applique lorsque x est observé : il donne la plage de p (raisonnement dans le sens inverse ; vignette « Calculer à partir de valeurs résumées »). L’approximation sigma μ ± 1,96 σ est affichée à côté à titre de comparaison.

Pour les spécialistes

Tous les nombres sont des sommes binomiales exactes. K est comparé à α avec une tolérance de 1e-7 (comme R en cas d’égalité, par exemple P = 0,05 exactement). La valeur p bilatérale suit la méthode « centrale » (doublement) ; elle correspond à l’intervalle de Clopper-Pearson et est disponible dans le paquet R exactci sous binom.exact(…, tsmethod = « central »). Vérifié par rapport à R (qbinom, pbinom, dbinom) et par une boucle sur toutes les régions de rejet, exemples imprimés : formation des enseignants du Bade-Wurtemberg (puces mémoire, dés, cantine).

Sources

• Fay, M. P. (2010) : Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK : standards de formation en mathématiques, baccalauréat allemand (Abitur, 2012), idée directrice « données et hasard » ; Lösungswege 8 (ÖBV, manuel autrichien), chapitre 7 : test d’hypothèse unilatéral et bilatéral avec la loi binomiale.
• Formation des enseignants du Bade-Wurtemberg : tests d’hypothèses (stochastique).