Κατανόηση του ελέγχου για μια αναλογία: περιοχή απόρριψης, πραγματικό α, διάστημα πρόβλεψης (prediction interval)

Εν συντομία

Υπό την H₀ το X ακολουθεί διωνυμική κατανομή με n και p₀. Από το επίπεδο σημαντικότητας α η κάρτα προσδιορίζει την περιοχή απόρριψης K, δηλαδή τους αριθμούς επιτυχιών για τους οποίους η H₀ απορρίπτεται. Παράδειγμα n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, μονόπλευρος δεξιά: K = {59, …, 100}. Με τουλάχιστον 59 επιτυχίες η H₀ απορρίπτεται.

Περιοχή απόρριψης K και πραγματικό α

• Μονόπλευρος δεξιά (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} με το μικρότερο g για το οποίο P(X ≥ g) ≤ α. Μονόπλευρος αριστερά (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} με το μεγαλύτερο k για το οποίο P(X ≤ k) ≤ α. Αμφίπλευρος (H₁: p ≠ p₀): και οι δύο πλευρές με α / 2 η καθεμία.
• Το πραγματικό α είναι η πιθανότητα με την οποία συμβαίνει το K υπό την H₀. Δεν είναι ποτέ μεγαλύτερο από το επιλεγμένο α, αλλά συχνά μικρότερο, επειδή το X παίρνει μόνο ακέραιες τιμές (4,43% αντί για 5% στο παράδειγμα). Το Statable το δείχνει πάντα.
• Αν το K είναι κενό, εμφανίζεται: «Με αυτό το n η H₀ δεν μπορεί ποτέ να απορριφθεί στο επίπεδο α.» Αυτό συμβαίνει για μικρό n και μικρό α.

Τιμή p και απόφαση

Μονόπλευρος, p = P(X ≥ x) ή P(X ≤ x). Αμφίπλευρος, το Statable διπλασιάζει τη μικρότερη μονόπλευρη τιμή: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Έτσι ισχύει πάντα ότι το x βρίσκεται στο K ακριβώς όταν p ≤ α. Η απόφαση και η τιμή p δεν έρχονται ποτέ σε αντίφαση. Το R (binom.test) υπολογίζει τον αμφίπλευρο έλεγχο διαφορετικά (άθροισμα όλων των πιθανοτήτων που είναι το πολύ τόσο μεγάλες όσο το P(X = x))· για p₀ ≠ 0,5 η τιμή p μπορεί να είναι εκεί μικρότερη. Παράδειγμα n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: διπλασιασμός 0,0041, binom.test 0,0033. Για p₀ = 0,5 και τα δύο συμπίπτουν.

Η μη απόρριψη δεν σημαίνει ότι η H₀ ισχύει

Αν το x δεν βρίσκεται στο K, η πρόταση λέει: «Τα δεδομένα δίνουν πολύ λίγες ενδείξεις ότι το p διαφέρει από το p₀.» Δεν είναι απόδειξη ότι η H₀ ισχύει. Το «στατιστικά σημαντικό» ισχύει μόνο μαζί με το επίπεδο στο οποίο λέγεται.

Σφάλμα τύπου II και ισχύς

Σφάλμα τύπου I: η H₀ απορρίπτεται παρότι ισχύει· η πιθανότητά του είναι το πραγματικό α. Σφάλμα τύπου II: η H₀ δεν απορρίπτεται παρότι στην πραγματικότητα ισχύει μια άλλη αναλογία p₁· η πιθανότητά του είναι β = P(X ∉ K | p₁). Η ισχύς 1 − β = P(X ∈ K | p₁) είναι η πιθανότητα να βρεθεί η διαφορά. Παράδειγμα n = 100, p₀ = 0,5, μονόπλευρος δεξιά, p₁ = 0,6: β = 37,75%, ισχύς 62,25%.

Διάστημα πρόβλεψης (prediction interval) ή διάστημα εμπιστοσύνης;

Το διάστημα πρόβλεψης (prediction interval) ισχύει όταν το p είναι γνωστό: δίνει το εύρος [a; b] του αριθμού επιτυχιών που εμφανίζεται με πιθανότητα τουλάχιστον 1 − α (συμπέρασμα προς τα εμπρός). Είναι το αντίστοιχο του αμφίπλευρου K. Παράδειγμα n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], δηλαδή αναλογίες από 0,40 έως 0,60. Το διάστημα εμπιστοσύνης ισχύει όταν παρατηρείται το x: δίνει το εύρος για το p (συμπέρασμα προς τα πίσω· κάρτα «Υπολογισμός από συνοπτικούς αριθμούς»). Η προσέγγιση σίγμα μ ± 1,96 σ εμφανίζεται δίπλα για σύγκριση.

Για ειδικούς

Όλοι οι αριθμοί είναι ακριβή διωνυμικά αθροίσματα. Το K συγκρίνεται με το α με ανοχή 1e-7 (όπως κάνει το R στην ισότητα, για παράδειγμα P = 0,05 ακριβώς). Η αμφίπλευρη τιμή p είναι η «κεντρική» μέθοδος (διπλασιασμός)· συμφωνεί με το διάστημα Clopper-Pearson και διατίθεται στο πακέτο R exactci ως binom.exact(…, tsmethod = «central»). Ελεγμένο έναντι του R (qbinom, pbinom, dbinom) και με βρόχο πάνω σε όλες τις περιοχές απόρριψης, έντυπα παραδείγματα: εκπαίδευση εκπαιδευτικών Βάδης-Βυρτεμβέργης (τσιπ μνήμης, ζάρια, κυλικείο).

Πηγές

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: εκπαιδευτικά πρότυπα στα μαθηματικά, γενική πρόσβαση στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Abitur, 2012), κεντρική ιδέα «δεδομένα και τύχη»· Lösungswege 8 (ÖBV, αυστριακό σχολικό βιβλίο), κεφάλαιο 7: μονόπλευρος και αμφίπλευρος έλεγχος υποθέσεων με τη διωνυμική κατανομή.
• Εκπαίδευση εκπαιδευτικών Βάδης-Βυρτεμβέργης: έλεγχος υποθέσεων (στοχαστική).