Υπολογισμός κατανομών: πιθανότητα, ποσοστημόριο, αναμενόμενη τιμή

Εν συντομία

Επιλέξτε μια κατανομή, εισαγάγετε τις παραμέτρους και θέστε την ερώτηση: «το πολύ (≤)», «μικρότερο από (<)», «τουλάχιστον (≥)», «μεγαλύτερο από (>)», «μεταξύ a και b» ή «τιμή για μια πιθανότητα». Το αποτέλεσμα εμφανίζεται ως δεκαδικός και σε ποσοστό (0,0443 = 4,43%), ως πρόταση και ως διάγραμμα με τη χρωματισμένη και γραμμοσκιασμένη επιφάνεια ή τις γραμμοσκιασμένες ράβδους.

Διακριτή ή συνεχής

• Για τη διωνυμική, την Poisson, την υπεργεωμετρική και τη δική σας κατανομή το X μετρά ακέραιες τιμές. Το «το πολύ 5» δεν είναι τότε το ίδιο με το «μικρότερο από 5»: η ίδια η τιμή 5 έχει τη δική της πιθανότητα. Αυτό είναι το πιο συνηθισμένο λάθος στο σχολείο, γι' αυτό το Statable δείχνει και τις τέσσερις ερωτήσεις η μία κάτω από την άλλη.
• Για την κανονική κατανομή, την t, τη χ² και την F οι μεμονωμένες τιμές έχουν πιθανότητα 0. Το «το πολύ» και το «μικρότερο από» ταυτίζονται εκεί, και το ίδιο το «τουλάχιστον» και το «μεγαλύτερο από».

Ποσοστημόριο

Για διακριτές κατανομές το ποσοστημόριο είναι η μικρότερη τιμή x με P(X ≤ x) ≥ p (ο ορισμός που χρησιμοποιεί το R). Το Statable δείχνει την πιθανότητα που πράγματι επιτυγχάνεται, επειδή συνήθως είναι ελαφρώς πάνω από το p, αφού υπάρχουν μόνο ακέραιες τιμές. Δεν είναι η περιοχή απόρριψης ενός ελέγχου: αυτή προσδιορίζεται από την κάρτα «Κατανόηση του ελέγχου για μια αναλογία» με τον σχολικό κανόνα.

Δική σας κατανομή

Εισαγάγετε σε έναν πίνακα τιμές x και πιθανότητες P(x), ως δεκαδικούς ή κλάσματα (1/6). Το Statable υπολογίζει E(X) = Σ x · P(x) και Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Αν το άθροισμα δεν είναι 1, τίποτα δεν προσαρμόζεται σιωπηλά: εμφανίζεται μια ερώτηση για το αν χρησιμοποιήθηκαν στρογγυλοποιημένες τιμές, με τις επιλογές «Κλιμάκωση στο 1» και «Να μείνει όπως είναι». Το E(X) είναι ο μέσος όρος μακροπρόθεσμα, όχι η συχνότερη τιμή.

Κανονική προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής

• Η κανονική καμπύλη με μ = n · p και σ = √(n · p · (1 − p)) βρίσκεται πάνω από τις ράβδους. Το P(a ≤ X ≤ b) εμφανίζεται ακριβές δίπλα στην προσέγγιση χωρίς και με διόρθωση συνέχειας. Η διόρθωση υπολογίζει από a − ½ έως b + ½, επειδή η ράβδος k εκτείνεται από k − ½ έως k + ½· είναι ακριβέστερη, ορισμένα σχολεία υπολογίζουν χωρίς αυτήν.
• Συνθήκη εφαρμογής: αν το σ είναι μεγαλύτερο από 3, η προσέγγιση θεωρείται αξιοποιήσιμη· διαφορετικά είναι αδρή. Το σύμβολο ✓ ή ! βρίσκεται δίπλα στο κείμενο, το χρώμα μόνο του δεν μεταφέρει πληροφορία.
• Κανόνας σίγμα: ο πίνακας δείχνει 1σ, 2σ, 3σ και τις σχολικές τιμές 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ με την προσέγγιση και την ακριβή διωνυμική πιθανότητα των ακέραιων ορίων. Οι σχολικές τιμές είναι στρογγυλοποιημένες, οι ακριβείς είναι 1,6449, 1,9600 και 2,5758· έτσι το 1,64σ δίνει μόνο περίπου 89,9% και όχι «90%».

Αναμενόμενη τιμή, διακύμανση και τυπική απόκλιση

Κάθε κατανομή δείχνει μ, σ² και σ. Ό,τι δεν υπάρχει δηλώνεται και δεν εμφανίζεται ως «NaN»: η κατανομή t δεν έχει αναμενόμενη τιμή για το πολύ 1 βαθμό ελευθερίας και δεν έχει πεπερασμένη διακύμανση για το πολύ 2· η κατανομή F έχει αναμενόμενη τιμή από df₂ > 2 και διακύμανση από df₂ > 4.

Υπεργεωμετρική

Το Statable ονομάζει N (στοιχεία συνολικά), K (από αυτά επιτυχίες) και n (εξαγόμενα χωρίς επανατοποθέτηση), όπως διδάσκεται στο σχολείο. Το R γράφει phyper(q, m, n, k) με m = K επιτυχίες, n = N − K αποτυχίες και k = εξαγόμενα· τα ονόματα διαφέρουν, το αποτέλεσμα όχι. Παράδειγμα λότο «6 από 49»: N = 49, K = 6, n = 6.

Για ειδικούς

Πυκνότητες κατά Loader (1999, όπως στο R dbinom, dpois, dhyper), ουρές με άθροιση από την επικρατούσα τιμή προς τα έξω, συναρτήσεις βήτα και γάμμα με συνεχή κλάσματα, κατανομές t και F μέσω της συνάρτησης βήτα. Τα ποσοστημόρια των συνεχών κατανομών συμφωνούν με το R με σχετικό σφάλμα 1e-8, τα ποσοστημόρια των διακριτών κατανομών ακριβώς. Ελεγμένο έναντι του R και του PSPP· έντυπα παραδείγματα: πίνακας της διωνυμικής συνάρτησης κατανομής n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), πίνακας τυπικής κανονικής κατανομής.

Πηγές

• KMK (Διαρκής Διάσκεψη των Γερμανών Υπουργών Παιδείας): εκπαιδευτικά πρότυπα στα μαθηματικά για τη γενική πρόσβαση στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Abitur, 2012), κεντρική ιδέα «δεδομένα και τύχη» (διωνυμική κατανομή, αναμενόμενη τιμή και τυπική απόκλιση διακριτών τυχαίων μεταβλητών, προσομοιώσεις).
• Lösungswege 8 (ÖBV, αυστριακό σχολικό βιβλίο), κεφάλαια 5 έως 7: συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, κανονική κατανομή με προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής.
• Εκπαίδευση εκπαιδευτικών Βάδης-Βυρτεμβέργης: διωνυμική και κανονική κατανομή, συνθήκη εφαρμογής, διόρθωση συνέχειας.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.