Изчисляване на разпределения: вероятност, квантил, математическо очакване

Накратко

Изберете разпределение, въведете параметрите, задайте въпроса: „най-много (≤)“, „по-малко от (<)“, „най-малко (≥)“, „повече от (>)“, „между a и b“ или „стойност за вероятност“. Резултатът се появява като десетично число и в проценти (0,0443 = 4,43%), като изречение и като графика с оцветена и щрихована област, съотв. със щриховани стълбове.

Дискретно или непрекъснато

• При биномното, на Поасон, хипергеометричното и собствените разпределения X брои цели стойности. „Най-много 5“ тогава не е същото като „по-малко от 5“: самата стойност 5 има собствена вероятност. Това е най-честата училищна грешка, затова Statable показва и четирите въпроса един под друг.
• При нормалното, t-, χ²- и F-разпределението отделните стойности имат вероятност 0. „Най-много“ и „по-малко от“ там са едно и също, както и „най-малко“ и „повече от“.

Квантил

При дискретните разпределения квантилът е най-малката стойност x с P(X ≤ x) ≥ p (определението, което използва R). Statable показва действително постигнатата вероятност, защото обикновено е малко над p, тъй като съществуват само цели стойности. Това не е критичната област на един критерий: тя се определя от плочката „Разбиране на критерия за дял“ по училищното правило.

Собствено разпределение

Въведете в таблица стойностите x и вероятностите P(x), като десетични числа или дроби (1/6). Statable изчислява E(X) = Σ x · P(x) и Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Ако сборът не е 1, нищо не се коригира мълчаливо: появява се въпрос дали са използвани закръглени стойности, с избор „Привеждане към 1“ и „Запазване без промяна“. E(X) е средната в дългосрочен план, а не най-честата стойност.

Нормално приближение на биномното разпределение

• Нормалната крива с μ = n · p и σ = √(n · p · (1 − p)) лежи над стълбовете. P(a ≤ X ≤ b) е показано точно до приближението без корекция за непрекъснатост и с нея. Корекцията изчислява от a − ½ до b + ½, защото стълб k стига от k − ½ до k + ½; тя е по-точна, някои училища изчисляват без нея.
• Условие за приложимост на приближението (Laplace condition): ако σ е по-голямо от 3, приближението се смята за използваемо; иначе е грубо. До текста стои символ ✓ или !, цветът сам не носи информация.
• Правило 68-95-99,7: таблицата показва 1σ, 2σ, 3σ и училищните стойности 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ с приближението и точната биномна вероятност на целочислените граници. Училищните стойности са закръглени, точните са 1,6449, 1,9600 и 2,5758; затова 1,64σ дава само около 89,9%, а не „90%“.

Математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение

Всяко разпределение показва μ, σ² и σ. Каквото не съществува, е посочено и не се показва като „NaN“: t-разпределението няма математическо очакване при най-много 1 степен на свобода и крайна дисперсия при най-много 2; F-разпределението има математическо очакване от df₂ > 2 и дисперсия от df₂ > 4.

Хипергеометрично

Statable означава N (общ брой елементи), K (от тях успехи) и n (изтеглени без връщане), както се изучава в училище. R пише phyper(q, m, n, k) с m = K успеха, n = N − K неуспеха и k = изтеглени; имената са различни, резултатът не. Пример лото „6 от 49“: N = 49, K = 6, n = 6.

За специалисти

Плътности по Лоудър (1999, както в R dbinom, dpois, dhyper), опашки чрез сумиране от модата навън, бета- и гама-функции с верижни дроби, t- и F-разпределения чрез бета-функцията. Квантилите на непрекъснатите разпределения съвпадат с R до относителна точност 1e-8, квантилите на дискретните разпределения - точно. Проверено спрямо R и спрямо PSPP; печатни примери: таблица на функцията на биномното разпределение n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), таблица на стандартното нормално разпределение.

Източници

• KMK (Постоянна конференция на министрите на образованието на Германия): образователни стандарти по математика за общо средно образование с право на висше (2012), водеща идея „данни и случайност“ (биномно разпределение, математическо очакване и стандартно отклонение на дискретни случайни величини, симулации).
• Lösungswege 8 (ÖBV, австрийски учебник), глави 5-7: непрекъснати случайни величини, нормално разпределение с приближение на биномното разпределение.
• Обучение на учители в Баден-Вюртемберг: биномно и нормално разпределение, условие за приложимост на приближението (Laplace condition), корекция за непрекъснатост.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.