Обчислення розподілів: ймовірність, квантиль, математичне сподівання

Коротко

Виберіть розподіл, введіть параметри, поставте запитання: «щонайбільше (≤)», «менше ніж (<)», «щонайменше (≥)», «більше ніж (>)», «між a і b» або «значення для ймовірності». Результат з’являється як десяткове число і у відсотках (0,0443 = 4,43%), як речення і як зображення із забарвленою та заштрихованою ділянкою або заштрихованими стовпцями.

Дискретний чи неперервний

• Для біноміального, Пуассона, гіпергеометричного та власних розподілів X рахує цілі значення. «Щонайбільше 5» тоді не те саме, що «менше ніж 5»: саме значення 5 має власну ймовірність. Це найпоширеніша шкільна помилка, тому Statable показує всі чотири запитання одне під одним.
• Для розподілів нормального, t, χ² і F окремі значення мають ймовірність 0. «Щонайбільше» і «менше ніж» там означають те саме, так само «щонайменше» і «більше ніж».

Квантиль

Для дискретних розподілів квантиль - це найменше значення x, для якого P(X ≤ x) ≥ p (визначення, яке застосовує R). Statable показує фактично досягнуту ймовірність, бо вона зазвичай трохи вища за p, адже існують лише цілі значення. Це не критична область критерію: її визначає плитка «Розуміння критерію для частки» за шкільним правилом.

Власний розподіл

Введіть у таблицю значення x та ймовірності P(x) - десятковими числами або дробами (1/6). Statable обчислює E(X) = Σ x · P(x) і Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Якщо сума не дорівнює 1, нічого не коригується мовчки: з’являється запитання, чи використовувалися округлені значення, з варіантами «Привести до 1» і «Залишити як є». E(X) - це середнє в довгостроковій перспективі, а не найчастіше значення.

Нормальне наближення біноміального розподілу

• Нормальна крива з μ = n · p і σ = √(n · p · (1 − p)) лежить над стовпцями. P(a ≤ X ≤ b) показано точно поруч із наближенням без поправки на неперервність і з нею. Поправка рахує від a − ½ до b + ½, бо стовпець k сягає від k − ½ до k + ½; вона точніша, деякі школи рахують без неї.
• Умова застосовності наближення (Laplace condition): якщо σ більше за 3, наближення вважається придатним; інакше воно грубе. Поруч із текстом стоїть символ ✓ або !, самого лише кольору недостатньо.
• Правило 68-95-99,7: таблиця показує 1σ, 2σ, 3σ і шкільні значення 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ із наближенням і точною біноміальною ймовірністю для цілих меж. Шкільні значення округлені, точні - 1,6449, 1,9600 і 2,5758; тому 1,64σ дає лише близько 89,9%, а не «90%».

Математичне сподівання, дисперсія та стандартне відхилення

Кожен розподіл показує μ, σ² і σ. Те, чого не існує, так і зазначено, а не показано як «NaN»: розподіл t не має математичного сподівання щонайбільше за 1 ступінь вільності та скінченної дисперсії щонайбільше за 2; розподіл F має математичне сподівання від df₂ > 2 і дисперсію від df₂ > 4.

Гіпергеометричний

Statable позначає N (усього елементів), K (із них успіхи) і n (добрано без повернення), як у школі. R пише phyper(q, m, n, k), де m = K успіхів, n = N − K неуспіхів, k = добрано; назви різні, результат однаковий. Приклад - лото «6 із 49»: N = 49, K = 6, n = 6.

Для фахівців

Густини за Лоудером (1999, як у R dbinom, dpois, dhyper), хвости підсумовуванням від моди назовні, бета- та гамма-функції ланцюговими дробами, розподіли t і F через бета-функцію. Квантилі неперервних розподілів збігаються з R до відносних 1e-8, квантилі дискретних розподілів - точно. Перевірено щодо R і щодо PSPP; друковані приклади: таблиця функції розподілу біноміального розподілу n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), таблиця стандартного нормального розподілу.

Джерела

• KMK (Постійна конференція міністрів освіти Німеччини): освітні стандарти з математики для загальної кваліфікації для вступу до університету (2012), провідна ідея «дані й випадковість» (біноміальний розподіл, математичне сподівання і стандартне відхилення дискретних випадкових величин, симуляції).
• Lösungswege 8 (ÖBV, австрійський підручник), розділи 5-7: неперервні випадкові величини, нормальний розподіл із наближенням біноміального розподілу.
• Підготовка вчителів у Баден-Вюртемберзі: біноміальний і нормальний розподіл, умова застосовності наближення (Laplace condition), поправка на неперервність.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.