Calcular distribuições: probabilidade, quantil, valor esperado

Em resumo

Escolha uma distribuição, introduza os parâmetros e faça a pergunta: «no máximo (≤)», «menor do que (<)», «pelo menos (≥)», «maior do que (>)», «entre a e b» ou «valor para uma probabilidade». O resultado aparece como decimal e em percentagem (0,0443 = 4,43%), como frase e como gráfico com a área colorida e tracejada ou as barras tracejadas.

Discreta ou contínua

• Nas distribuições binomial, de Poisson, hipergeométrica e própria, X conta valores inteiros. «No máximo 5» não é então o mesmo que «menor do que 5»: o próprio valor 5 tem a sua probabilidade. Este é o erro escolar mais comum, por isso o Statable mostra as quatro perguntas umas por baixo das outras.
• Nas distribuições normal, t, χ² e F, os valores isolados têm probabilidade 0. «No máximo» e «menor do que» são aí o mesmo, tal como «pelo menos» e «maior do que».

Quantil

Nas distribuições discretas, o quantil é o menor valor x com P(X ≤ x) ≥ p (a definição usada pelo R). O Statable mostra a probabilidade realmente atingida, porque costuma ser ligeiramente superior a p, já que só existem valores inteiros. Não é a região crítica de um teste: essa é determinada pelo cartão «Compreender o teste de uma proporção» com a regra escolar.

Distribuição própria

Introduza numa tabela valores x e probabilidades P(x), como decimais ou frações (1/6). O Statable calcula E(X) = Σ x · P(x) e Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Se a soma não for 1, não se ajusta nada em silêncio: aparece uma pergunta sobre se foram usados valores arredondados, com as opções «Escalar para 1» e «Manter como está». E(X) é a média a longo prazo, não o valor mais frequente.

Aproximação normal da distribuição binomial

• A curva normal com μ = n · p e σ = √(n · p · (1 − p)) fica sobre as barras. P(a ≤ X ≤ b) é mostrada de forma exata ao lado da aproximação sem e com correção de continuidade. A correção calcula de a − ½ a b + ½, porque a barra k vai de k − ½ a k + ½; é mais exata, algumas escolas calculam sem ela.
• Condição de validade: se σ for maior do que 3, a aproximação considera-se utilizável; caso contrário, é grosseira. O símbolo ✓ ou ! aparece junto ao texto, a cor sozinha não transmite informação.
• Regra sigma: a tabela mostra 1σ, 2σ, 3σ e os valores escolares 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ com a aproximação e a probabilidade binomial exata dos limites inteiros. Os valores escolares estão arredondados, os exatos são 1,6449, 1,9600 e 2,5758; por isso 1,64σ dá apenas cerca de 89,9% e não «90%».

Valor esperado, variância e desvio-padrão

Cada distribuição mostra μ, σ² e σ. O que não existe é indicado e não é mostrado como «NaN»: a distribuição t não tem valor esperado com no máximo 1 grau de liberdade e não tem variância finita com no máximo 2; a distribuição F tem valor esperado a partir de df₂ > 2 e variância a partir de df₂ > 4.

Hipergeométrica

O Statable designa N (total de elementos), K (dos quais sucessos) e n (extraídos sem reposição), como se ensina na escola. O R escreve phyper(q, m, n, k) com m = K sucessos, n = N − K insucessos e k = extraídos; os nomes diferem, o resultado não. Exemplo, lotaria «6 de 49»: N = 49, K = 6, n = 6.

Para especialistas

Densidades segundo Loader (1999, como no R dbinom, dpois, dhyper), caudas por soma a partir da moda para fora, funções beta e gama com frações contínuas, distribuições t e F através da função beta. Os quantis das distribuições contínuas coincidem com o R com um erro relativo de 1e-8, os das distribuições discretas exatamente. Verificado com o R e com o PSPP; exemplos impressos: tabela da função de distribuição binomial n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabela da normal padrão.

Fontes

• KMK (Conferência Permanente dos Ministros da Educação alemães): normas de formação em Matemática para o acesso geral ao ensino superior (Abitur, 2012), ideia diretriz «dados e acaso» (distribuição binomial, valor esperado e desvio-padrão de variáveis aleatórias discretas, simulações).
• Lösungswege 8 (ÖBV, manual escolar austríaco), capítulos 5 a 7: variáveis aleatórias contínuas, distribuição normal com aproximação da distribuição binomial.
• Formação de professores de Baden-Württemberg: distribuição binomial e normal, condição de validade, correção de continuidade.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.