Verdelingen berekenen: kans, kwantiel, verwachtingswaarde

Kort

Kies een verdeling, voer de parameters in en stel de vraag: “hoogstens (≤)”, “kleiner dan (<)”, “minstens (≥)”, “groter dan (>)”, “tussen a en b” of “waarde bij een kans”. Het resultaat verschijnt als decimaal getal en in procenten (0,0443 = 4,43%), als zin en als grafiek met het gekleurde en gearceerde oppervlak of de gearceerde staven.

Discreet of continu

• Bij de binomiale, poisson-, hypergeometrische en eigen verdeling telt X gehele waarden. “Hoogstens 5” is dan niet hetzelfde als “kleiner dan 5”: de waarde 5 zelf heeft een eigen kans. Dit is de meest voorkomende schoolfout, daarom toont Statable alle vier de vragen onder elkaar.
• Bij de normale, t-, χ²- en F-verdeling hebben afzonderlijke waarden kans 0. “Hoogstens” en “kleiner dan” zijn daar hetzelfde, en ook “minstens” en “groter dan”.

Kwantiel

Bij discrete verdelingen is het kwantiel de kleinste waarde x met P(X ≤ x) ≥ p (de definitie die R gebruikt). Statable toont de werkelijk bereikte kans, omdat die meestal iets boven p ligt, aangezien er alleen gehele waarden bestaan. Het is niet het kritieke gebied van een toets: dat wordt bepaald door de tegel “De toets voor een proportie begrijpen” volgens de schoolregel.

Eigen verdeling

Voer waarden x en kansen P(x) in een tabel in, als decimalen of breuken (1/6). Statable berekent E(X) = Σ x · P(x) en Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Als de som niet 1 is, wordt er niets stilzwijgend aangepast: er verschijnt een vraag of afgeronde waarden zijn gebruikt, met de keuzes “Op 1 schalen” en “Laten zoals het is”. E(X) is het gemiddelde op de lange termijn, niet de meest voorkomende waarde.

Normale benadering van de binomiale verdeling

• De normale kromme met μ = n · p en σ = √(n · p · (1 − p)) ligt over de staven. P(a ≤ X ≤ b) wordt exact getoond naast de benadering zonder en met continuïteitscorrectie. De correctie rekent van a − ½ tot b + ½, omdat staaf k loopt van k − ½ tot k + ½; ze is nauwkeuriger, sommige scholen rekenen zonder.
• Voorwaarde voor de benadering: als σ groter is dan 3, geldt de benadering als bruikbaar; anders is ze grof. Het symbool ✓ of ! staat naast de tekst, kleur alleen draagt geen informatie.
• Sigmaregels: de tabel toont 1σ, 2σ, 3σ en de schoolwaarden 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ met de benadering en de exacte binomiale kans van de gehele grenzen. De schoolwaarden zijn afgerond, de exacte zijn 1,6449, 1,9600 en 2,5758; 1,64σ geeft dus maar ongeveer 89,9% en niet “90%”.

Verwachtingswaarde, variantie en standaarddeviatie

Elke verdeling toont μ, σ² en σ. Wat niet bestaat, wordt vermeld en niet als “NaN” getoond: de t-verdeling heeft geen verwachtingswaarde bij hoogstens 1 vrijheidsgraad en geen eindige variantie bij hoogstens 2; de F-verdeling heeft een verwachtingswaarde vanaf df₂ > 2 en een variantie vanaf df₂ > 4.

Hypergeometrisch

Statable benoemt N (elementen in totaal), K (waarvan successen) en n (getrokken zonder teruglegging), zoals op school wordt geleerd. R schrijft phyper(q, m, n, k) met m = K successen, n = N − K mislukkingen en k = getrokken; de namen verschillen, het resultaat niet. Voorbeeld lotto “6 uit 49”: N = 49, K = 6, n = 6.

Voor specialisten

Dichtheden volgens Loader (1999, zoals in R dbinom, dpois, dhyper), staarten door sommatie vanaf de modus naar buiten, bèta- en gammafuncties met kettingbreuken, t- en F-verdelingen via de bètafunctie. Kwantielen van continue verdelingen komen met R overeen tot een relatieve 1e-8, kwantielen van discrete verdelingen exact. Gecontroleerd tegen R en tegen PSPP; gedrukte voorbeelden: tabel van de binomiale verdelingsfunctie n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabel van de standaardnormale verdeling.

Bronnen

• KMK (Permanente Conferentie van de Duitse ministers van Onderwijs): onderwijsstandaarden wiskunde voor de algemene toelating tot het hoger onderwijs (Abitur, 2012), leidend idee “gegevens en toeval” (binomiale verdeling, verwachtingswaarde en standaarddeviatie van discrete stochastische variabelen, simulaties).
• Lösungswege 8 (ÖBV, Oostenrijks leerboek), hoofdstuk 5 tot 7: continue stochastische variabelen, normale verdeling met benadering van de binomiale verdeling.
• Lerarenopleiding Baden-Württemberg: binomiale en normale verdeling, voorwaarde voor de benadering, continuïteitscorrectie.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.