Is het normaal verdeeld? Shapiro-Wilk-toets en Q-Q-plot

Kort

Veel methoden (t-toets, variantieanalyse, correlatie van Pearson, regressie) veronderstellen dat bepaalde waarden bij benadering normaal verdeeld zijn: bij een groepsvergelijking de waarden binnen elke groep, bij regressie de residuen (de afwijkingen van de lijn). Bij grotere steekproeven telt vooral dat de gemiddelden zich ongeveer normaal gedragen. Onder “Hoe is iets verdeeld?” toetst Statable elke getallenkolom als geheel met de Shapiro-Wilk-toets en toont die in een grafiek. Bij een groepsvergelijking telt de vorm binnen de groepen, niet die van de hele kolom.

De Shapiro-Wilk-toets

• Het geeft W (dicht bij 1 betekent: past goed bij een normale verdeling) en een p.
• p < ,05: de verdeling wijkt af van een normale verdeling. p ≥ ,05: de toets wijst niet op een afwijking. Dit is geen bewijs dat de waarden normaal verdeeld zijn.
• Hij wordt berekend bij 3 tot 5000 geldige waarden; bij kolommen met weinig niveaus (bijvoorbeeld antwoorden van 1 tot 5) vervalt hij.
• Bij veel personen slaat de toets al uit bij kleine, onbelangrijke afwijkingen; bij weinig personen mist hij grote afwijkingen. Kijk daarom altijd ook naar de grafiek.

Lilliefors als tweede toets

Naast Shapiro-Wilk is er de Lilliefors-toets (Kolmogorov-Smirnov met geschat gemiddelde en geschatte SD). Hij wordt op dezelfde manier gelezen en heeft meestal minder power. Meer in het artikel “Aanpassingstoetsen”.

De Q-Q-plot

Onder “Grafieken” → “Getallen tonen als” kun je kiezen tussen histogram, boxplot en Q-Q-plot. In de Q-Q-plot staat elke waarde als punt tegenover de waarde die een normale verdeling zou voorspellen. Liggen de punten dicht bij de lijn, dan past de normale verdeling. Bochten wijzen op scheefheid, uitwaaieren aan de uiteinden op uitschieters of zware staarten. Het histogram kan er ook de normale curve bij tonen. Bij regressie is hetzelfde beschikbaar als “Q-Q-plot van de residuen”.

Wat als het niet past?

• Of een afwijking ertoe doet voor de t-toets en de variantieanalyse, hangt vooral af van duidelijke scheefheid en uitschieters, niet van een vast aantal personen: zonder beide houden de toetsen van Welch ook bij kleine groepen stand.
• Bij duidelijke scheefheid, uitschieters of waarden met weinig niveaus: kies bij een groepsvergelijking “Zonder normale verdeling (rangtoets)” (Statable noemt de reden al vóór het rekenen); bij een correlatie Spearman.
• Bekijk een enkele uitschieter eerst in de datacontrole, voordat je iets anders wijzigt.

Typisch voorbeeld

Reactietijden zijn bijna altijd rechtsscheef: enkele zeer trage antwoorden trekken het gemiddelde omhoog. De toets geeft p < ,001, de Q-Q-plot buigt aan het bovenste uiteinde omhoog, de mediaan beschrijft het midden beter.

Shapiro-Wilk: W = ,912, p < ,001