Aanpassingstoetsen: normale verdeling (Lilliefors) en uniforme verdeling (χ²)

Kort

In “Hoe is iets verdeeld?” onder het resultaat: past de verdeling bij een verwachting? Bij getalskolommen toetst Statable de normale verdeling met twee toetsen (Shapiro-Wilk en Lilliefors), bij kolommen met categorieën met de χ²-goodness-of-fit-toets tegen een uniforme verdeling of tegen vooraf vastgelegde eigen proporties.

Normale verdeling: Lilliefors

• Lilliefors is de Kolmogorov-Smirnov-toets met uit de gegevens geschatte gemiddelde en standaarddeviatie (Lilliefors 1967). De gewone Kolmogorov-Smirnov-toets, die deze waarden uit de gegevens haalt, is dan te voorzichtig: zijn p is te groot. Daarom toont Statable nooit de p uit de Kolmogorov-Smirnov-uitvoer van PSPP (NPAR TESTS /K-S), maar de gecorrigeerde p volgens Lilliefors.
• Net als Shapiro-Wilk wordt hij berekend voor getalskolommen met meer dan 12 verschillende waarden (en minstens 5 geldige waarden); bij weinig verschillende waarden zegt een normaliteitstoets weinig, daarom is er dan geen, en laat de Q-Q-plot meer zien. De p is de bekende benadering (Dallal en Wilkinson 1986) zoals in R (nortest::lillie.test). Bij constante waarden is er geen toets.
• Net als bij Shapiro-Wilk: p < ,05 betekent dat de verdeling afwijkt; p ≥ ,05 betekent alleen dat de toets er niet tegen pleit - nooit “is normaal verdeeld”. Bij weinig personen mist hij grote afwijkingen, bij veel personen meldt hij zelfs kleine; de Q-Q-plot laat meer zien. Shapiro-Wilk heeft bij kleine en middelgrote steekproeven meestal meer power.

Categorieën: χ²-goodness-of-fit-toets

• Hij vergelijkt de waargenomen frequenties met de verwachte, alleen voor categorieën (tekst, waardelabels, meetniveau nominaal of ordinaal), nooit voor metrische getalskolommen met weinig waarden. Standaard: uniforme verdeling (elke categorie even vaak). Eigen proporties zijn mogelijk met “Eigen proporties verwachten in plaats van een uniforme verdeling”: een proportie of gewicht per categorie, de getallen worden op een som van 1 gebracht. Ze moeten vóór de analyse vaststaan (theorie, eerder onderzoek, Mendel) en niet uit deze gegevens komen. De toets wordt alleen berekend met “Proporties vastleggen en berekenen”, niet bij elke toetsaanslag; zin en APA-regel noemen de proporties (“tegen vooraf vastgelegde proporties 40 : 30 : 20 : 10”). Worden ze na een resultaat opnieuw gewijzigd, dan staat bovenaan de melding dat de p-waarde dan niet meer geldt als toets van een vooraf vastgelegde aanname.
• Regel van Cochran (1954): als in een categorie minder dan 1 wordt verwacht of in meer dan 20% van de categorieën minder dan 5, is de toets onnauwkeurig en meldt Statable dat de p onzeker is. Er is hier geen exacte toets; zeldzame categorieën kunnen worden samengevoegd. Een categorie zonder waarnemingen telt mee.
• Twee categorieën: zonder continuïteitscorrectie, zoals R chisq.test(x, p). Een niet statistisch significant resultaat toont geen uniforme verdeling aan.
• De gestandaardiseerde residuen (tabel) laten zien welke categorie het sterkst afwijkt: opvallend vanaf ongeveer ±2.

Het resultaat rapporteren

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Voorbeeld (erwten van Mendel, 315 : 108 : 101 : 32 tegen 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. De gegevens pleiten niet tegen de verwachte proporties; dat toont niet aan dat de theorie klopt.

Voor specialisten

Lilliefors: D = grootste afwijking van de empirische van de normale verdelingsfunctie met het gemiddelde en de SD (n − 1) van de gegevens; p volgens de benadering van nortest::lillie.test (Dallal en Wilkinson 1986; Stephens), ongewijzigd. Bij n > 100 wordt D omgerekend naar n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) geeft dezelfde D maar een p zonder correctie (in de test gecontroleerd). Goodness of fit: Σ (O − E)²/E met k − 1 vrijheidsgraden, zoals R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE geeft dezelfde getallen.

Bronnen

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors’s test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.