Anpassungstests: Normalverteilung (Lilliefors) und Gleichverteilung (χ²)

Kurz

Bei „Wie verteilt sich etwas?“ unter dem Ergebnis: Passt die Verteilung zu einer Erwartung? Für Zahlenspalten prüft Statable die Normalverteilung mit zwei Tests (Shapiro-Wilk und Lilliefors), für Spalten mit Kategorien den χ²-Anpassungstest gegen eine Gleichverteilung oder gegen eigene, vorher festgelegte Anteile.

Normalverteilung: Lilliefors

• Lilliefors ist der Kolmogorov-Smirnov-Test mit aus den Daten geschätztem Mittelwert und Standardabweichung (Lilliefors 1967). Der gewöhnliche Kolmogorov-Smirnov-Test, der diese Werte aus den Daten nimmt, ist dann zu vorsichtig: sein p ist zu groß. Statable zeigt darum nie das p der Kolmogorov-Smirnov-Test-Ausgabe von PSPP (NPAR TESTS /K-S), sondern das korrigierte p nach Lilliefors.
• Gerechnet wird, wie bei Shapiro-Wilk, für Zahlenspalten mit mehr als 12 verschiedenen Werten (und mindestens 5 gültigen Werten); bei wenigen verschiedenen Werten sagt ein Normalverteilungstest wenig, dort gibt es ihn nicht, und das Q-Q-Diagramm zeigt mehr. Das p ist die bekannte Näherung (Dallal und Wilkinson 1986) wie in R (nortest::lillie.test). Bei konstanten Werten gibt es keinen Test.
• Wie bei Shapiro-Wilk: p < ,05 heißt, die Verteilung weicht ab; p ≥ ,05 heißt nur, dass der Test nicht dagegen spricht - nie „ist normalverteilt“. Bei wenigen Personen übersieht er große Abweichungen, bei vielen schlägt er schon bei kleinen an; das Q-Q-Diagramm zeigt mehr. Shapiro-Wilk ist bei kleinen und mittleren Stichproben meist trennschärfer.

Kategorien: χ²-Anpassungstest

• Er vergleicht die beobachteten Häufigkeiten mit den erwarteten, und zwar nur für Kategorien (Text, Wertebeschriftungen, Messniveau nominal oder ordinal), nie für metrische Zahlenspalten mit wenigen Werten. Voreinstellung: Gleichverteilung (jede Kategorie gleich häufig). Eigene Anteile gibt es mit „Eigene Anteile statt Gleichverteilung erwarten“: ein Anteil oder Gewicht je Kategorie, die Zahlen werden auf die Summe 1 gebracht. Sie müssen vor der Auswertung feststehen (Theorie, Vorstudie, Mendel), nicht aus diesen Daten stammen. Gerechnet wird erst mit „Anteile festlegen und rechnen“, nicht bei jedem Tastendruck; Satz und APA-Zeile nennen die Anteile („gegen vorab festgelegte Anteile 40 : 30 : 20 : 10“). Werden sie nach einem Ergebnis noch einmal geändert, steht als Hinweis zuerst, dass das p dann nicht mehr als Test einer vorab festgelegten Annahme gilt.
• Cochran-Regel (1954): Wird in einer Kategorie weniger als 1 erwartet oder in mehr als 20 % der Kategorien weniger als 5, ist der Test ungenau, und Statable sagt, dass das p unsicher ist. Einen exakten Test gibt es hier nicht; seltene Kategorien lassen sich zusammenfassen. Eine Kategorie ohne Beobachtung zählt mit.
• Zwei Kategorien: ohne Stetigkeitskorrektur, wie R chisq.test(x, p). Ein nicht signifikantes Ergebnis belegt keine Gleichverteilung.
• Die standardisierten Residuen (Tabelle) zeigen, welche Kategorie am stärksten abweicht: ab etwa ±2 auffällig.

Ergebnis berichten

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Beispiel (Mendels Erbsen, 315 : 108 : 101 : 32 gegen 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Die Daten sprechen nicht gegen die erwarteten Anteile; das belegt nicht, dass die Theorie stimmt.

Für Fachleute

Lilliefors: D = größte Abweichung der empirischen von der Normalverteilungsfunktion mit Mittelwert und SD (n − 1) der Daten; p nach der Näherung von nortest::lillie.test (Dallal und Wilkinson 1986; Stephens), unverändert. Bei n > 100 wird D auf n = 100 umgerechnet. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) liefert dasselbe D, aber ein p ohne Korrektur (Gegenprobe im Test). χ²-Anpassung: Σ (O − E)²/E mit k − 1 Freiheitsgraden, wie R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE gibt dieselben Zahlen.

Quellen

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.