Test della bontà di adattamento: distribuzione normale (Lilliefors) e distribuzione uniforme (χ²)

In breve

In «Come si distribuisce qualcosa?», sotto il risultato: la distribuzione corrisponde a un’aspettativa? Per le colonne numeriche Statable verifica la distribuzione normale con due test (Shapiro-Wilk e Lilliefors), per le colonne con categorie il test χ² della bontà di adattamento rispetto a una distribuzione uniforme o a proporzioni proprie fissate in anticipo.

Distribuzione normale: Lilliefors

• Lilliefors è il test di Kolmogorov-Smirnov con media e deviazione standard stimate dai dati (Lilliefors 1967). Il test di Kolmogorov-Smirnov ordinario, che prende questi valori dai dati, è allora troppo prudente: il suo p è troppo grande. Perciò Statable non mostra mai il p dell’output Kolmogorov-Smirnov di PSPP (NPAR TESTS /K-S), ma il p corretto secondo Lilliefors.
• Come per Shapiro-Wilk, viene calcolato per le colonne numeriche con più di 12 valori diversi (e almeno 5 valori validi); con pochi valori diversi un test di normalità dice poco, perciò non c’è, e il grafico Q-Q mostra di più. Il p è la nota approssimazione (Dallal e Wilkinson 1986) come in R (nortest::lillie.test). Con valori costanti non c’è alcun test.
• Come per Shapiro-Wilk: p < ,05 significa che la distribuzione si discosta; p ≥ ,05 significa solo che il test non depone contro - mai «è normalmente distribuito». Con poche persone non coglie grandi scostamenti, con molte segnala anche quelli piccoli; il grafico Q-Q mostra di più. Shapiro-Wilk di solito ha più potenza per campioni piccoli e medi.

Categorie: test χ² della bontà di adattamento

• Confronta le frequenze osservate con quelle attese, solo per categorie (testo, etichette dei valori, livello di misurazione nominale o ordinale), mai per colonne numeriche metriche con pochi valori. Predefinito: distribuzione uniforme (ogni categoria ugualmente spesso). Con «Attendersi proporzioni proprie invece di una distribuzione uniforme» si possono indicare proporzioni proprie: una proporzione o un peso per ogni categoria, i numeri vengono riportati a una somma di 1. Devono essere fissate prima dell’analisi (teoria, studio precedente, Mendel), non ricavate da questi dati. Il test viene calcolato solo con «Fissare le proporzioni e calcolare», non a ogni tasto premuto; la frase e la riga APA nominano le proporzioni («rispetto alle proporzioni fissate in anticipo 40 : 30 : 20 : 10»). Se vengono modificate di nuovo dopo un risultato, l’avviso che il valore p non vale più come test di un’assunzione fissata in anticipo compare per primo.
• Regola di Cochran (1954): se in una categoria se ne attende meno di 1 o in più del 20% delle categorie meno di 5, il test è impreciso e Statable dice che il p è incerto. Qui non c’è un test esatto; le categorie rare si possono riunire. Una categoria senza osservazioni conta.
• Due categorie: senza correzione di continuità, come R chisq.test(x, p). Un risultato non statisticamente significativo non dimostra una distribuzione uniforme.
• I residui standardizzati (tabella) mostrano quale categoria si discosta di più: evidenti da circa ±2.

Riportare il risultato

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Esempio (piselli di Mendel, 315 : 108 : 101 : 32 rispetto a 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. I dati non depongono contro le proporzioni attese; ciò non dimostra che la teoria sia giusta.

Per specialisti

Lilliefors: D = massimo scostamento della funzione di ripartizione empirica da quella normale con media e SD (n − 1) dei dati; p secondo l’approssimazione di nortest::lillie.test (Dallal e Wilkinson 1986; Stephens), invariata. Per n > 100, D viene convertito a n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) dà lo stesso D ma un p senza correzione (verificato nel test). Bontà di adattamento: Σ (O − E)²/E con k − 1 gradi di libertà, come R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE dà gli stessi numeri.

Fonti

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors’s test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.