Testy dobroci dopasowania: rozkład normalny (Lilliefors) i rozkład równomierny (χ²)

W skrócie

W „Jak coś jest rozłożone?” pod wynikiem: czy rozkład pasuje do oczekiwania? Dla kolumn liczbowych Statable testuje rozkład normalny dwoma testami (Shapiro-Wilka i Lillieforsa), dla kolumn z kategoriami testem dobroci dopasowania χ² wobec rozkładu równomiernego albo wobec własnych proporcji ustalonych wcześniej.

Rozkład normalny: Lilliefors

• Lilliefors to test Kołmogorowa-Smirnowa ze średnią i odchyleniem standardowym oszacowanymi z danych (Lilliefors 1967). Zwykły test Kołmogorowa-Smirnowa, który bierze te wartości z danych, jest wtedy zbyt ostrożny: jego wartość p jest za duża. Dlatego Statable nigdy nie pokazuje p z wyniku Kołmogorowa-Smirnowa w PSPP (NPAR TESTS /K-S), tylko poprawioną wartość p według Lillieforsa.
• Tak jak test Shapiro-Wilka, liczy się go dla kolumn liczbowych z więcej niż 12 różnymi wartościami (i co najmniej 5 ważnymi wartościami); przy kilku różnych wartościach test normalności niewiele mówi, więc go nie ma, a lepiej pokazuje to wykres Q-Q. Wartość p to znane przybliżenie (Dallal i Wilkinson 1986) jak w R (nortest::lillie.test). Przy stałych wartościach testu nie ma.
• Tak jak przy teście Shapiro-Wilka: p < ,05 oznacza, że rozkład odbiega; p ≥ ,05 oznacza tylko, że test temu nie przeczy - nigdy „ma rozkład normalny”. Przy małej liczbie osób pomija duże odchylenia, przy dużej wychwytuje nawet niewielkie; lepiej pokazuje to wykres Q-Q. Test Shapiro-Wilka ma zwykle większą moc dla małych i średnich prób.

Kategorie: test dobroci dopasowania χ²

• Porównuje liczebności obserwowane z oczekiwanymi, tylko dla kategorii (tekst, etykiety wartości, poziom pomiaru nominalny lub porządkowy), nigdy dla metrycznych kolumn liczbowych z niewieloma wartościami. Domyślnie: rozkład równomierny (każda kategoria jednakowo często). Własne proporcje są dostępne przez „Oczekuj własnych proporcji zamiast rozkładu równomiernego”: proporcja lub waga dla każdej kategorii, liczby są sprowadzane do sumy 1. Muszą być ustalone przed analizą (teoria, wcześniejsze badanie, Mendel), a nie wzięte z tych danych. Test jest liczony dopiero po „Ustal proporcje i oblicz”, nie przy każdym naciśnięciu klawisza; zdanie i wiersz APA podają proporcje („wobec proporcji ustalonych wcześniej 40 : 30 : 20 : 10”). Jeśli zmieni się je ponownie po zobaczeniu wyniku, najpierw pojawia się uwaga, że wartość p nie jest już wtedy testem założenia ustalonego wcześniej.
• Reguła Cochrana (1954): jeśli w kategorii oczekuje się mniej niż 1 albo mniej niż 5 w ponad 20% kategorii, test jest niedokładny i Statable mówi, że wartość p jest niepewna. Testu dokładnego tu nie ma; rzadkie kategorie można połączyć. Kategoria bez obserwacji też się liczy.
• Dwie kategorie: bez poprawki na ciągłość, jak R chisq.test(x, p). Wynik nieistotny nie dowodzi rozkładu równomiernego.
• Reszty standaryzowane (tabela) pokazują, która kategoria odbiega najbardziej: zauważalne od około ±2.

Raportowanie wyniku

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Przykład (groszek Mendla, 315 : 108 : 101 : 32 wobec 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Dane nie przeczą oczekiwanym proporcjom; to nie dowodzi, że teoria jest słuszna.

Dla specjalistów

Lilliefors: D = największe odchylenie dystrybuanty empirycznej od dystrybuanty rozkładu normalnego ze średnią i SD (n − 1) z danych; p według przybliżenia nortest::lillie.test (Dallal i Wilkinson 1986; Stephens), bez zmian. Dla n > 100 D jest przeliczane na n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) daje to samo D, ale p bez poprawki (sprawdź w teście). Dobroć dopasowania: Σ (O − E)²/E przy k − 1 stopniach swobody, jak R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE daje te same liczby.

Źródła

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors’s test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.