Тестове за съответствие: нормално разпределение (Лилифорс) и равномерно разпределение (χ²)

Накратко

В „Как е разпределено нещо?“ под резултата: отговаря ли разпределението на очакване? За числови колони Statable проверява нормалното разпределение с два теста (Шапиро-Уилк и Лилифорс), за колони с категории - с хи-квадрат тест за съответствие (chi-square goodness-of-fit test) спрямо равномерно разпределение или спрямо собствени, предварително определени дялове.

Нормално разпределение: Лилифорс

• Лилифорс е критерият на Колмогоров-Смирнов със средна стойност и стандартно отклонение, оценени от данните (Lilliefors, 1967). Обикновеният критерий на Колмогоров-Смирнов, който взема тези стойности от данните, е тогава твърде предпазлив: p-стойността му е твърде голяма. Затова Statable никога не показва p-стойността от изхода на Колмогоров-Смирнов в PSPP (NPAR TESTS /K-S), а коригираната p-стойност по Лилифорс.
• Както критерият на Шапиро-Уилк, се изчислява за числови колони с повече от 12 различни стойности (и поне 5 валидни стойности); при само няколко различни стойности тестът за нормалност казва малко, затова няма такъв, а повече показва Q-Q диаграмата (Q-Q plot). p-стойността е известното приближение (Dallal & Wilkinson, 1986) както в R (nortest::lillie.test). При постоянни стойности няма тест.
• Както при критерия на Шапиро-Уилк: p < ,05 означава, че разпределението се отклонява; p ≥ ,05 означава само, че тестът не говори против него - никога „е нормално разпределено“. При малко хора пропуска големи отклонения, при много реагира и на малки; повече показва Q-Q диаграмата (Q-Q plot). Критерият на Шапиро-Уилк обикновено е по-мощен при малки и средни извадки.

Категории: хи-квадрат тест за съответствие

• Сравнява наблюдаваните честоти с очакваните, само за категории (текст, етикети на стойности, ниво на измерване номинално или порядъчно), никога за метрични числови колони с малко стойности. По подразбиране: равномерно разпределение (всяка категория еднакво често). Собствени дялове са налични чрез „Очаквайте собствени дялове вместо равномерно разпределение“: дял или тегло за всяка категория, числата се свеждат до сума 1. Те трябва да бъдат определени преди анализа (теория, предишно изследване, Мендел), а не взети от тези данни. Тестът се изчислява едва след „Задайте дяловете и изчислете“, не при всяко натискане на клавиш; изречението и редът за APA назовават дяловете („спрямо предварително определени дялове 40 : 30 : 20 : 10“). Ако те се променят отново след резултат, първо се появява забележката, че p-стойността тогава вече не важи като тест на предварително определено допускане.
• Правилото на Кокран (1954): ако в категория се очаква по-малко от 1 или по-малко от 5 при над 20% от категориите, критерият е неточен и Statable казва, че p-стойността е несигурна. Тук няма точен тест; редките категории могат да се обединят. Категория без наблюдения се брои.
• Две категории: без корекция за непрекъснатост, като R chisq.test(x, p). Статистически незначим резултат не доказва равномерно разпределение.
• Стандартизираните остатъци (таблица) показват коя категория се отклонява най-много: забележимо от около ±2.

Съобщаване на резултата

Лилифорс D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Пример (граховете на Мендел, 315 : 108 : 101 : 32 спрямо 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Данните не говорят против очакваните дялове (expected proportions); това не доказва, че теорията е вярна.

За специалисти

Лилифорс: D = най-голямото отклонение на емпиричната функция на разпределение от нормалната със средната стойност и SD (n − 1) на данните; p по приближението на nortest::lillie.test (Dallal & Wilkinson, 1986; Stephens), непроменено. При n > 100 D се преизчислява към n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) дава същото D, но p без корекция (проверено в теста). Съответствие: Σ (O − E)²/E с k − 1 степени на свобода, като R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE дава същите числа.

Източници

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.