Pruebas de bondad de ajuste: distribución normal (Lilliefors) y distribución uniforme (χ²)

En resumen

En «¿Cómo se distribuye algo?», debajo del resultado: ¿encaja la distribución con una expectativa? Para columnas numéricas, Statable comprueba la distribución normal con dos pruebas (Shapiro-Wilk y Lilliefors); para columnas con categorías, la prueba de bondad de ajuste χ² frente a una distribución uniforme o frente a proporciones propias fijadas de antemano.

Distribución normal: Lilliefors

• Lilliefors es la prueba de Kolmogorov-Smirnov con la media y la desviación típica estimadas a partir de los datos (Lilliefors 1967). La prueba de Kolmogorov-Smirnov ordinaria, que toma esos valores de los datos, es entonces demasiado cautelosa: su p es demasiado grande. Por eso Statable nunca muestra el p de la salida de Kolmogorov-Smirnov de PSPP (NPAR TESTS /K-S), sino el p corregido según Lilliefors.
• Igual que Shapiro-Wilk, se calcula para columnas numéricas con más de 12 valores distintos (y al menos 5 valores válidos); con pocos valores distintos una prueba de normalidad dice poco, por eso no hay ninguna y el gráfico Q-Q muestra más. El p es la conocida aproximación (Dallal y Wilkinson 1986) como en R (nortest::lillie.test). Con valores constantes no hay prueba.
• Igual que con Shapiro-Wilk: p < ,05 significa que la distribución se desvía; p ≥ ,05 solo significa que la prueba no habla en contra - nunca «es normal». Con pocas personas pasa por alto grandes desviaciones, con muchas señala incluso las pequeñas; el gráfico Q-Q muestra más. Shapiro-Wilk suele tener más potencia con muestras pequeñas y medianas.

Categorías: prueba de bondad de ajuste χ²

• Compara las frecuencias observadas con las esperadas, solo para categorías (texto, etiquetas de valores, nivel de medida nominal u ordinal), nunca para columnas numéricas métricas con pocos valores. Predeterminado: distribución uniforme (cada categoría igual de a menudo). Con «Esperar proporciones propias en lugar de una distribución uniforme» se pueden indicar proporciones propias: una proporción o un peso para cada categoría; los números se llevan a una suma de 1. Deben estar fijadas antes del análisis (teoría, estudio previo, Mendel), no salir de estos datos. La prueba solo se calcula con «Fijar las proporciones y calcular», no con cada pulsación de tecla; la frase y la línea APA nombran las proporciones («frente a las proporciones fijadas de antemano 40 : 30 : 20 : 10»). Si se cambian de nuevo después de un resultado, el aviso de que el valor p ya no cuenta como prueba de un supuesto fijado de antemano aparece primero.
• Regla de Cochran (1954): si se espera menos de 1 en una categoría o menos de 5 en más del 20 % de las categorías, la prueba es imprecisa y Statable avisa de que el p es incierto. Aquí no hay prueba exacta; se pueden agrupar las categorías poco frecuentes. Una categoría sin observaciones cuenta.
• Dos categorías: sin corrección de continuidad, como R chisq.test(x, p). Un resultado no estadísticamente significativo no demuestra una distribución uniforme.
• Los residuos tipificados (tabla) muestran qué categoría se desvía más: llamativos desde aproximadamente ±2.

Informar del resultado

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Ejemplo (guisantes de Mendel, 315 : 108 : 101 : 32 frente a 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Los datos no van en contra de las proporciones esperadas; eso no demuestra que la teoría sea correcta.

Para especialistas

Lilliefors: D = mayor desviación de la función de distribución empírica respecto a la normal con la media y la SD (n − 1) de los datos; p según la aproximación de nortest::lillie.test (Dallal y Wilkinson 1986; Stephens), sin modificar. Para n > 100, D se convierte a n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) da el mismo D pero un p sin corrección (comprobado en la prueba). Bondad de ajuste: Σ (O − E)²/E con k − 1 grados de libertad, como R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE da las mismas cifras.

Fuentes

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.