Tests d’ajustement : distribution normale (Lilliefors) et distribution uniforme (χ²)

En bref

Dans « Comment quelque chose est-il distribué ? », sous le résultat : la distribution correspond-elle à une attente ? Pour les colonnes numériques, Statable teste la distribution normale avec deux tests (Shapiro-Wilk et Lilliefors) ; pour les colonnes de catégories, il applique le test d’ajustement du χ² par rapport à une distribution uniforme ou à des proportions propres fixées au préalable.

Distribution normale : Lilliefors

• Lilliefors est le test de Kolmogorov-Smirnov avec moyenne et écart type estimés à partir des données (Lilliefors 1967). Le test de Kolmogorov-Smirnov ordinaire, qui prend ces valeurs dans les données, est alors trop prudent : son p est trop grand. Statable n’affiche donc jamais le p de la sortie Kolmogorov-Smirnov de PSPP (NPAR TESTS /K-S), mais le p corrigé selon Lilliefors.
• Comme pour Shapiro-Wilk, il est calculé pour les colonnes numériques ayant plus de 12 valeurs différentes (et au moins 5 valeurs valides) ; avec peu de valeurs différentes, un test de normalité n’apprend pas grand-chose, il n’y en a donc pas, et le diagramme Q-Q en montre davantage. Le p est l’approximation bien connue (Dallal et Wilkinson 1986) comme dans R (nortest::lillie.test). Avec des valeurs constantes, il n’y a pas de test.
• Comme pour Shapiro-Wilk : p < ,05 signifie que la distribution s’écarte ; p ≥ ,05 signifie seulement que le test ne plaide pas contre - jamais « suit une distribution normale ». Avec peu de personnes, il passe à côté de grands écarts, avec beaucoup, il signale même de petits écarts ; le diagramme Q-Q en montre davantage. Shapiro-Wilk a généralement plus de puissance pour les échantillons petits et moyens.

Catégories : test d’ajustement du χ²

• Il compare les fréquences observées aux fréquences attendues, uniquement pour des catégories (texte, étiquettes de valeurs, niveau de mesure nominal ou ordinal), jamais pour des colonnes numériques métriques ayant peu de valeurs. Par défaut : distribution uniforme (chaque catégorie aussi souvent). Des proportions propres sont disponibles avec « Attendre ses propres proportions plutôt qu’une distribution uniforme » : une proportion ou un poids pour chaque catégorie, les nombres sont ramenés à une somme de 1. Elles doivent être fixées avant l’analyse (théorie, étude préalable, Mendel) et ne pas provenir de ces données. Le test n’est calculé qu’avec « Fixer les proportions et calculer », et non à chaque frappe ; la phrase et la ligne APA nomment les proportions (« par rapport aux proportions fixées au préalable 40 : 30 : 20 : 10 »). Si elles sont de nouveau modifiées après un résultat, la remarque indique en premier que la valeur p ne compte alors plus comme test d’une hypothèse fixée au préalable.
• Règle de Cochran (1954) : si moins de 1 est attendu dans une catégorie ou moins de 5 dans plus de 20 % des catégories, le test est imprécis et Statable indique que le p est incertain. Il n’existe pas de test exact ici ; les catégories rares peuvent être regroupées. Une catégorie sans observation compte.
• Deux catégories : sans correction de continuité, comme R chisq.test(x, p). Un résultat non significatif ne montre pas une distribution uniforme.
• Les résidus standardisés (tableau) montrent quelle catégorie s’écarte le plus : à remarquer à partir d’environ ±2.

Rapporter le résultat

Lilliefors D = ,241, p = ,003 ; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Exemple (pois de Mendel, 315 : 108 : 101 : 32 contre 9 : 3 : 3 : 1) : χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Les données ne plaident pas contre les proportions attendues ; cela ne montre pas que la théorie est juste.

Pour les spécialistes

Lilliefors : D = plus grand écart entre la fonction de répartition empirique et celle de la loi normale ayant la moyenne et l’écart type SD (n − 1) des données ; p d’après l’approximation de nortest::lillie.test (Dallal et Wilkinson 1986 ; Stephens), sans modification. Pour n > 100, D est converti en n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) donne le même D, mais un p sans correction (vérifié dans le test). Ajustement : Σ (O − E)²/E avec k − 1 degrés de liberté, comme R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE) ; PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE donne les mêmes chiffres.

Sources

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors’s test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.