Критерії відповідності: нормальний розподіл (Ліллієфорс) і рівномірний розподіл (χ²)

Коротко

У «Як щось розподілене?» під результатом: чи розподіл відповідає очікуванню? Для числових стовпців Statable перевіряє нормальний розподіл двома критеріями (Шапіро-Вілка й Ліллієфорса), для стовпців із категоріями - критерієм відповідності χ² щодо рівномірного розподілу або щодо власних пропорцій, визначених заздалегідь.

Нормальний розподіл: Ліллієфорс

• Ліллієфорс - це критерій Колмогорова-Смирнова із середнім і стандартним відхиленням, оціненими за даними (Lilliefors 1967). Звичайний критерій Колмогорова-Смирнова, що бере ці значення з даних, тоді надто обережний: його p завелике. Тому Statable ніколи не показує p з виводу Колмогорова-Смирнова в PSPP (NPAR TESTS /K-S), а лише виправлене p за Ліллієфорсом.
• Як і критерій Шапіро-Вілка, його обчислюють для числових стовпців із понад 12 різними значеннями (і щонайменше 5 дійсними значеннями); за кількох різних значень критерій нормальності (Tests of Normality) мало про що каже, тому його немає, а більше показує графік Q-Q. p - це відоме наближення (Dallal & Wilkinson 1986), як у R (nortest::lillie.test). За сталих значень критерію немає.
• Як і для критерію Шапіро-Вілка: p < ,05 означає, що розподіл відхиляється; p ≥ ,05 лише означає, що критерій цьому не суперечить - ніколи не «має нормальний розподіл». За малої кількості осіб він пропускає великі відхилення, за великої - реагує навіть на малі; більше показує графік Q-Q. Критерій Шапіро-Вілка зазвичай потужніший для малих і середніх вибірок.

Категорії: критерій відповідності χ²

• Порівнює спостережені частоти з очікуваними, лише для категорій (текст, мітки значень, рівень вимірювання номінальний або порядковий), ніколи для метричних числових стовпців із небагатьма значеннями. За замовчуванням: рівномірний розподіл (кожна категорія однаково часто). Власні пропорції доступні через «Очікувати власні пропорції замість рівномірного розподілу»: пропорція або вага для кожної категорії, числа зводяться до суми 1. Вони мають бути визначені до аналізу (теорія, попереднє дослідження, Мендель), а не взяті з цих даних. Критерій обчислюється лише після «Задати пропорції та обчислити», а не за кожного натискання клавіші; речення та рядок APA називають пропорції («щодо заздалегідь визначених пропорцій 40 : 30 : 20 : 10»). Якщо їх змінити знову після результату, спершу з’являється зауваження, що p-значення тоді вже не вважається перевіркою припущення, визначеного заздалегідь.
• Правило Кокрена (1954): якщо в категорії очікується менше ніж 1 або менше ніж 5 у понад 20% категорій, критерій неточний, і Statable повідомляє, що p-значення непевне. Точного критерію тут немає; рідкісні категорії можна об’єднати. Категорія без спостережень теж враховується.
• Дві категорії: без поправки на неперервність, як R chisq.test(x, p). Статистично незначущий результат не доводить рівномірного розподілу.
• Стандартизовані залишки (таблиця) показують, яка категорія відхиляється найбільше: помітно приблизно від ±2.

Подання результату

Ліллієфорс D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Приклад (горох Менделя, 315 : 108 : 101 : 32 проти 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Дані не суперечать очікуваним пропорціям; це не доводить, що теорія правильна.

Для фахівців

Ліллієфорс: D = найбільше відхилення емпіричної функції розподілу від нормальної із середнім і SD (n − 1) за даними; p за наближенням nortest::lillie.test (Dallal & Wilkinson 1986; Stephens), без змін. Для n > 100 D перераховують на n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) дає те саме D, але p без поправки (перевіряється в тесті). Відповідність: Σ (O − E)²/E з k − 1 ступенями вільності, як R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE дає ті самі числа.

Джерела

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors’s test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.