Έλεγχοι καλής προσαρμογής: κανονική κατανομή (Lilliefors) και ομοιόμορφη κατανομή (χ²)

Εν συντομία

Στο «Πώς κατανέμεται κάτι;» κάτω από το αποτέλεσμα: ταιριάζει η κατανομή σε μια προσδοκία; Για στήλες αριθμών το Statable ελέγχει την κανονική κατανομή με δύο ελέγχους (Shapiro-Wilk και Lilliefors), για στήλες με κατηγορίες τον έλεγχο καλής προσαρμογής χ² έναντι ομοιόμορφης κατανομής ή έναντι δικών σας αναλογιών που ορίστηκαν εκ των προτέρων.

Κανονική κατανομή: Lilliefors

• Ο Lilliefors είναι ο έλεγχος Kolmogorov-Smirnov με μέσο όρο και τυπική απόκλιση εκτιμημένα από τα δεδομένα (Lilliefors 1967). Ο συνηθισμένος έλεγχος Kolmogorov-Smirnov, που παίρνει αυτές τις τιμές από τα δεδομένα, είναι τότε υπερβολικά συντηρητικός: το p του είναι πολύ μεγάλο. Γι' αυτό το Statable δεν εμφανίζει ποτέ το p από την έξοδο Kolmogorov-Smirnov του PSPP (NPAR TESTS /K-S), αλλά το διορθωμένο p κατά Lilliefors.
• Όπως ο Shapiro-Wilk, υπολογίζεται για στήλες αριθμών με περισσότερες από 12 διαφορετικές τιμές (και τουλάχιστον 5 έγκυρες τιμές)· με λίγες διαφορετικές τιμές ένας έλεγχος κανονικότητας λέει λίγα, γι' αυτό δεν υπάρχει, και το διάγραμμα Q-Q δείχνει περισσότερα. Το p είναι η γνωστή προσέγγιση (Dallal και Wilkinson 1986) όπως στο R (nortest::lillie.test). Με σταθερές τιμές δεν υπάρχει έλεγχος.
• Όπως στον Shapiro-Wilk: p < ,05 σημαίνει ότι η κατανομή αποκλίνει· p ≥ ,05 σημαίνει μόνο ότι ο έλεγχος δεν συνηγορεί εναντίον - ποτέ «είναι κανονικά κατανεμημένο». Με λίγα άτομα χάνει μεγάλες αποκλίσεις, με πολλά επισημαίνει ακόμη και μικρές· το διάγραμμα Q-Q δείχνει περισσότερα. Ο Shapiro-Wilk έχει συνήθως μεγαλύτερη ισχύ για μικρά και μεσαία δείγματα.

Κατηγορίες: έλεγχος καλής προσαρμογής χ²

• Συγκρίνει τις παρατηρούμενες συχνότητες με τις αναμενόμενες, μόνο για κατηγορίες (κείμενο, ετικέτες τιμών, επίπεδο μέτρησης ονομαστικό ή τακτικό), ποτέ για μετρικές στήλες αριθμών με λίγες τιμές. Προεπιλογή: ομοιόμορφη κατανομή (κάθε κατηγορία εξίσου συχνά). Δικές σας αναλογίες είναι διαθέσιμες με το «Να αναμένονται δικές σας αναλογίες αντί για ομοιόμορφη κατανομή»: μια αναλογία ή ένα βάρος για κάθε κατηγορία, οι αριθμοί μετατρέπονται ώστε το άθροισμα να είναι 1. Πρέπει να έχουν οριστεί πριν από την ανάλυση (θεωρία, προηγούμενη μελέτη, Mendel) και να μην προέρχονται από αυτά τα δεδομένα. Ο έλεγχος υπολογίζεται μόνο με το «Ορισμός αναλογιών και υπολογισμός», όχι με κάθε πάτημα πλήκτρου· η πρόταση και η γραμμή APA αναφέρουν τις αναλογίες («έναντι αναλογιών που ορίστηκαν εκ των προτέρων 40 : 30 : 20 : 10»). Αν αλλάξουν ξανά μετά από ένα αποτέλεσμα, εμφανίζεται πρώτη η υπόδειξη ότι η τιμή p δεν θεωρείται πλέον έλεγχος μιας προϋπόθεσης που ορίστηκε εκ των προτέρων.
• Κανόνας του Cochran (1954): αν αναμένεται λιγότερο από 1 σε μια κατηγορία ή λιγότερο από 5 σε περισσότερο από το 20% των κατηγοριών, ο έλεγχος είναι ανακριβής και το Statable λέει ότι το p είναι αβέβαιο. Εδώ δεν υπάρχει ακριβής έλεγχος· οι σπάνιες κατηγορίες μπορούν να συνδυαστούν. Μια κατηγορία χωρίς παρατηρήσεις μετράει.
• Δύο κατηγορίες: χωρίς διόρθωση συνέχειας, όπως R chisq.test(x, p). Ένα μη στατιστικά σημαντικό αποτέλεσμα δεν δείχνει ομοιόμορφη κατανομή.
• Τα τυποποιημένα κατάλοιπα (πίνακας) δείχνουν ποια κατηγορία αποκλίνει περισσότερο: αξιοσημείωτα από περίπου ±2.

Αναφορά του αποτελέσματος

Lilliefors D = ,241, p = ,003· χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Παράδειγμα (μπιζέλια του Mendel, 315 : 108 : 101 : 32 έναντι 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Τα δεδομένα δεν συνηγορούν εναντίον των αναμενόμενων αναλογιών· αυτό δεν δείχνει ότι η θεωρία είναι σωστή.

Για ειδικούς

Lilliefors: D = μεγαλύτερη απόκλιση της εμπειρικής από την κανονική συνάρτηση κατανομής με τον μέσο όρο και την SD (n − 1) των δεδομένων· p κατά την προσέγγιση του nortest::lillie.test (Dallal και Wilkinson 1986· Stephens), αμετάβλητο. Για n > 100 το D μετατρέπεται σε n = 100. Το PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) δίνει το ίδιο D αλλά ένα p χωρίς διόρθωση (ελέγχθηκε στον έλεγχο). Καλή προσαρμογή: Σ (O − E)²/E με k − 1 βαθμούς ελευθερίας, όπως R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE)· το PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE δίνει τους ίδιους αριθμούς.

Πηγές

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.