Illeszkedési tesztek: normális eloszlás (Lilliefors) és egyenletes eloszlás (χ²)

Röviden

A „Hogyan oszlik el valami?” kérdésben az eredmény alatt: illeszkedik az eloszlás egy elvárásra? Számoszlopoknál a Statable két próbával (Shapiro-Wilk és Lilliefors) vizsgálja a normális eloszlást, kategóriás oszlopoknál χ² illeszkedési teszttel az egyenletes eloszlással vagy előre rögzített saját arányokkal szemben.

Normális eloszlás: Lilliefors

• A Lilliefors-próba a Kolmogorov-Szmirnov-próba az adatokból becsült átlaggal és szórással (Lilliefors 1967). A közönséges Kolmogorov-Szmirnov-próba, amely ezeket az értékeket az adatokból veszi, ekkor túl óvatos: a p-értéke túl nagy. A Statable ezért a PSPP Kolmogorov-Szmirnov-kimenetéből (NPAR TESTS /K-S) sosem mutatja a p-értéket, hanem a Lilliefors szerint javított p-értéket.
• A Shapiro-Wilk-próbához hasonlóan olyan számoszlopokra számolódik, amelyekben több mint 12 különböző érték van (és legalább 5 érvényes érték); néhány különböző érték mellett a normalitásvizsgálat keveset mond, ezért nincs ilyen, és a Q-Q diagram többet mutat. A p az ismert közelítés (Dallal és Wilkinson 1986), mint az R-ben (nortest::lillie.test). Állandó értékeknél nincs próba.
• Mint a Shapiro-Wilk-próbánál: a p < ,05 azt jelenti, hogy az eloszlás eltér; a p ≥ ,05 csak annyit, hogy a próba nem szól ellene - sosem „normális eloszlású”. Kevés személynél elnéz nagy eltéréseket, soknál már a kicsikre is jelez; a Q-Q diagram többet mutat. A Shapiro-Wilk-próba kis és közepes mintáknál általában erősebb.

Kategóriák: χ² illeszkedési teszt

• A megfigyelt gyakoriságokat hasonlítja a várható gyakoriságokhoz, csak kategóriákra (szöveg, értékcímkék, nominális vagy ordinális mérési szint), soha nem kevés értékű metrikus számoszlopokra. Alapértelmezés: egyenletes eloszlás (minden kategória egyformán gyakori). Saját arányok a „Saját arányok várása egyenletes eloszlás helyett” beállítással adhatók meg: egy arány vagy súly minden kategóriához, a számokat az összegük 1-re hozza. Az elemzés előtt kell rögzíteni őket (elmélet, korábbi vizsgálat, Mendel), nem ezekből az adatokból venni. A próba csak az „Arányok rögzítése és számítás” gombra számolódik, nem minden billentyűleütésre; a mondat és az APA-sor megnevezi az arányokat („az előre rögzített 40 : 30 : 20 : 10 arányokkal szemben”). Ha egy eredmény után újra módosítják őket, először az a megjegyzés jelenik meg, hogy a p-érték ekkor már nem számít előre rögzített feltétel tesztjének.
• Cochran-szabály (1954): ha egy kategóriában 1-nél kevesebb, vagy a kategóriák több mint 20%-ában 5-nél kevesebb a várható gyakoriság, a próba pontatlan, és a Statable jelzi, hogy a p-érték bizonytalan. Pontos próba itt nincs; a ritka kategóriák összevonhatók. A megfigyelés nélküli kategória is számít.
• Két kategória: folytonossági korrekció nélkül, mint az R chisq.test(x, p). Egy nem szignifikáns eredmény nem bizonyítja az egyenletes eloszlást.
• A standardizált reziduumok (táblázat) megmutatják, melyik kategória tér el leginkább: nagyjából ±2-től feltűnő.

Az eredmény közlése

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Példa (Mendel borsója, 315 : 108 : 101 : 32 a 9 : 3 : 3 : 1 ellenében): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Az adatok nem szólnak a várható arányok ellen; ez nem bizonyítja, hogy az elmélet helyes.

Szakembereknek

Lilliefors: D = az empirikus és a normális eloszlásfüggvény legnagyobb eltérése az adatok átlagával és SD-jével (n − 1); a p az nortest::lillie.test közelítése szerint (Dallal és Wilkinson 1986; Stephens), változatlanul. n > 100 esetén a D-t n = 100-ra számítják át. A PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) ugyanazt a D-t adja, de korrekció nélküli p-t (a próbában ellenőrizve). Illeszkedés: Σ (O − E)²/E k − 1 szabadságfokkal, mint az R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); a PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE ugyanezeket a számokat adja.

Források

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.