Testy dobré shody: normální rozdělení (Lilliefors) a rovnoměrné rozdělení (χ²)

Stručně

V „Jak jsou rozložená data?“ pod výsledkem: odpovídá rozdělení očekávání? U číselných sloupců Statable testuje normální rozdělení dvěma testy (Shapirův-Wilkův a Lillieforsův), u sloupců s kategoriemi χ² testem dobré shody vůči rovnoměrnému rozdělení nebo vůči vlastním předem stanoveným podílům.

Normální rozdělení: Lilliefors

• Lilliefors je Kolmogorovův-Smirnovův test s průměrem a směrodatnou odchylkou odhadnutými z dat (Lilliefors, 1967). Obyčejný Kolmogorovův-Smirnovův test, který tyto hodnoty bere z dat, je pak příliš opatrný: jeho p je příliš velké. Statable proto nikdy neukazuje p z výstupu Kolmogorovova-Smirnovova testu v PSPP (NPAR TESTS /K-S), ale opravené p podle Lillieforse.
• Stejně jako Shapirův-Wilkův test se počítá pro číselné sloupce s více než 12 různými hodnotami (a alespoň 5 platnými hodnotami); při pouhých několika různých hodnotách test normality říká málo, proto žádný není a víc ukazuje Q-Q graf. P-hodnota je známá aproximace (Dallal & Wilkinson, 1986) jako v R (nortest::lillie.test). U konstantních hodnot žádný test není.
• Stejně jako u Shapirova-Wilkova testu: p < ,05 znamená, že se rozdělení odchyluje; p ≥ ,05 znamená jen to, že test proti němu nesvědčí - nikdy „je normálně rozdělené“. U málo osob přehlédne velké odchylky, u mnoha upozorní i na malé; víc ukazuje Q-Q graf. Shapirův-Wilkův test je u malých a středních výběrů obvykle silnější.

Kategorie: χ² test dobré shody

• Porovnává pozorované četnosti s očekávanými, jen pro kategorie (text, popisky hodnot, úroveň měření nominální nebo ordinální), nikdy pro metrické číselné sloupce s málo hodnotami. Výchozí je rovnoměrné rozdělení (každá kategorie stejně často). Vlastní podíly jsou dostupné přes „Očekávat vlastní podíly místo rovnoměrného rozdělení“: podíl nebo váha pro každou kategorii, čísla se přepočítají na součet 1. Musí být stanoveny před analýzou (teorie, předchozí studie, Mendel), ne převzaty z těchto dat. Test se počítá až po „Stanovit podíly a vypočítat“, ne při každém stisku klávesy; věta a řádek APA pojmenují podíly („vůči předem stanoveným podílům 40 : 30 : 20 : 10“). Změní-li se znovu po výsledku, objeví se nejprve poznámka, že p-hodnota pak už neplatí jako test předem stanoveného předpokladu.
• Cochranovo pravidlo (1954): je-li v nějaké kategorii očekáváno méně než 1 nebo méně než 5 ve více než 20 % kategorií, je test nepřesný a Statable říká, že p-hodnota je nejistá. Exaktní test zde není; řídké kategorie lze sloučit. Kategorie bez pozorování se počítá.
• Dvě kategorie: bez opravy na spojitost, jako R chisq.test(x, p). Statisticky nevýznamný výsledek rovnoměrné rozdělení neprokazuje.
• Standardizovaná rezidua (tabulka) ukazují, která kategorie se odchyluje nejvíce: nápadná od zhruba ±2.

Uvedení výsledku

Lilliefors D = ,241, p = ,003; χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925

Příklad (Mendelův hrách, 315 : 108 : 101 : 32 oproti 9 : 3 : 3 : 1): χ²(3, N = 556) = 0,47, p = ,925. Data neodporují očekávaným podílům; to neprokazuje, že teorie platí.

Pro odborníky

Lilliefors: D = největší odchylka empirické distribuční funkce od normální s průměrem a SD (n − 1) z dat; p podle aproximace nortest::lillie.test (Dallal & Wilkinson, 1986; Stephens), beze změny. Pro n > 100 se D přepočítá na n = 100. PSPP NPAR TESTS /K-S(NORMAL) dává stejné D, ale p bez opravy (ověřeno v testu). Test dobré shody: Σ (O − E)²/E s k − 1 stupni volnosti, jako R chisq.test(x, p, rescale.p = TRUE); PSPP NPAR TESTS /CHISQUARE dává stejná čísla.

Zdroje

Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62, 399-402. Dallal, G. E. & Wilkinson, L. (1986). An analytic approximation to the distribution of Lilliefors's test statistic for normality. The American Statistician, 40, 294-296. Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10, 417-451.