Eloszlások kiszámítása: valószínűség, kvantilis, várható érték

Röviden

Válassz eloszlást, add meg a paramétereket, tedd fel a kérdést: „legfeljebb (≤)”, „kisebb, mint (<)”, „legalább (≥)”, „nagyobb, mint (>)”, „a és b között” vagy „érték egy valószínűséghez”. Az eredmény tizedes törtként és százalékban jelenik meg (0,0443 = 4,43%), mondatként és ábraként a színezett és vonalkázott területtel, illetve a vonalkázott oszlopokkal.

Diszkrét vagy folytonos

• A binomiális, Poisson-, hipergeometrikus és saját eloszlásoknál X egész értékeket számol. A „legfeljebb 5” ilyenkor nem ugyanaz, mint a „kisebb, mint 5”: maga az 5 érték is rendelkezik saját valószínűséggel. Ez a leggyakoribb iskolai hiba, ezért a Statable mind a négy kérdést egymás alatt mutatja.
• A normális, t-, χ²- és F-eloszlásnál az egyes értékek valószínűsége 0. A „legfeljebb” és a „kisebb, mint” ott ugyanaz, ahogy a „legalább” és a „nagyobb, mint” is.

Kvantilis

Diszkrét eloszlásoknál a kvantilis a legkisebb x érték, amelyre P(X ≤ x) ≥ p (az R által használt definíció). A Statable a ténylegesen elért valószínűséget mutatja, mert az általában kissé p fölött van, hiszen csak egész értékek léteznek. Ez nem egy próba elutasítási régiója: azt az „Az arányra vonatkozó próba megértése” csempe határozza meg az iskolai szabály szerint.

Saját eloszlás

Írd be az x értékeket és a P(x) valószínűségeket egy táblázatba, tizedes törtként vagy törtként (1/6). A Statable kiszámolja az E(X) = Σ x · P(x) és Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)² értékeket. Ha az összeg nem 1, semmi nem módosul csendben: felugrik egy kérdés, hogy kerekített értékeket használtál-e, a „Skálázás 1-re” és a „Változatlanul hagyás” lehetőséggel. E(X) a hosszú távú átlag, nem a leggyakoribb érték.

A binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással

• A μ = n · p és σ = √(n · p · (1 − p)) normális görbe az oszlopok felett fekszik. A P(a ≤ X ≤ b) pontosan jelenik meg a folytonossági korrekció nélküli és a korrekcióval készült közelítés mellett. A korrekció a − ½-től b + ½-ig számol, mert a k oszlop k − ½-től k + ½-ig terjed; pontosabb, egyes iskolák nélküle számolnak.
• Az approximáció érvényességi feltétele (Laplace condition): ha σ nagyobb 3-nál, a közelítést használhatónak tekintjük; különben durva. A szöveg mellett ✓ vagy ! jel áll, a szín önmagában nem hordoz információt.
• 68-95-99,7 szabály: a táblázat az 1σ, 2σ, 3σ és az iskolai 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ értékeket mutatja a közelítéssel és az egész határok pontos binomiális valószínűségével. Az iskolai értékek kerekítettek, a pontosak 1,6449, 1,9600 és 2,5758; ezért az 1,64σ csak kb. 89,9%-ot ad, nem „90%”-ot.

Várható érték, variancia és szórás

Minden eloszlás mutatja μ-t, σ²-et és σ-t. Ami nem létezik, azt kimondja, és nem „NaN”-ként jeleníti meg: a t-eloszlásnak legfeljebb 1 szabadságfoknál nincs várható értéke, legfeljebb 2-nél nincs véges varianciája; az F-eloszlásnak df₂ > 2-től van várható értéke, df₂ > 4-től varianciája.

Hipergeometrikus

A Statable N-nel (összes elem), K-val (ebből sikerek) és n-nel (visszatevés nélkül kihúzott) jelöl, ahogy az iskolában tanítják. Az R phyper(q, m, n, k) alakban ír, ahol m = K siker, n = N − K kudarc és k = kihúzott; a nevek eltérnek, az eredmény nem. Példa: lottó „49-ből 6”: N = 49, K = 6, n = 6.

Szakembereknek

Sűrűségek Loader szerint (1999, mint az R dbinom, dpois, dhyper függvényeiben), a szélek összegzéssel a móduszból kifelé, béta- és gammafüggvények lánctörtekkel, t- és F-eloszlások a béta-függvényen keresztül. A folytonos eloszlások kvantilisei 1e-8 relatív pontossággal egyeznek az R-rel, a diszkrét eloszlások kvantilisei pontosan. Ellenőrizve az R-rel és a PSPP-vel szemben; nyomtatott példák: a binomiális eloszlásfüggvény táblázata n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), a standard normális eloszlás táblázata.

Források

• KMK (Német Kultuszminiszterek Állandó Konferenciája): oktatási standardok matematikából az általános egyetemi felvételi képesítéshez (2012), vezérgondolat „adatok és véletlen” (binomiális eloszlás, diszkrét valószínűségi változók várható értéke és szórása, szimulációk).
• Lösungswege 8 (ÖBV, osztrák tankönyv), 5-7. fejezet: folytonos valószínűségi változók, normális eloszlás a binomiális eloszlás közelítésével.
• Tanárképzés Baden-Württemberg: binomiális és normális eloszlás, az approximáció érvényességi feltétele (Laplace condition), folytonossági korrekció.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.