Calculer des lois : probabilité, quantile, espérance

En bref

Choisissez une loi, saisissez les paramètres, posez la question : « au plus (≤) », « inférieur à (<) », « au moins (≥) », « supérieur à (>) », « entre a et b » ou « valeur pour une probabilité ». Le résultat apparaît sous forme décimale et en pourcentage (0,0443 = 4,43 %), sous forme de phrase et sous forme de graphique avec la surface colorée et hachurée ou les barres hachurées.

Discret ou continu

• Pour les lois binomiale, de Poisson, hypergéométrique et personnalisée, X compte des valeurs entières. « Au plus 5 » n’est alors pas la même chose que « inférieur à 5 » : la valeur 5 elle-même a sa propre probabilité. C’est l’erreur la plus fréquente à l’école, c’est pourquoi Statable affiche les quatre questions l’une sous l’autre.
• Pour les lois normale, t, χ² et F, les valeurs isolées ont une probabilité de 0. « Au plus » et « inférieur à » y sont identiques, tout comme « au moins » et « supérieur à ».

Quantile

Pour les lois discrètes, le quantile est la plus petite valeur x telle que P(X ≤ x) ≥ p (la définition utilisée par R). Statable affiche la probabilité réellement atteinte, car elle est généralement un peu supérieure à p, puisque seules des valeurs entières existent. Ce n’est pas la région de rejet d’un test : celle-ci est déterminée par la vignette « Comprendre le test d’une proportion » selon la règle scolaire.

Loi personnalisée

Saisissez dans un tableau des valeurs x et des probabilités P(x), sous forme de décimaux ou de fractions (1/6). Statable calcule E(X) = Σ x · P(x) et Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Si la somme n’est pas 1, rien n’est ajusté en silence : une question apparaît pour savoir si des valeurs arrondies ont été utilisées, avec les choix « Ramener à 1 » et « Garder tel quel ». E(X) est la moyenne à long terme, et non la valeur la plus fréquente.

Approximation normale de la loi binomiale

• La courbe normale de paramètres μ = n · p et σ = √(n · p · (1 − p)) est superposée aux barres. P(a ≤ X ≤ b) est affichée de façon exacte à côté de l’approximation sans et avec correction de continuité. La correction calcule de a − ½ à b + ½, car la barre k va de k − ½ à k + ½ ; elle est plus précise, certaines écoles calculent sans elle.
• Condition de validité : si σ est supérieur à 3, l’approximation est considérée comme utilisable ; sinon elle est grossière. Le symbole ✓ ou ! figure à côté du texte, la couleur seule ne porte aucune information.
• Règle sigma : le tableau montre 1σ, 2σ, 3σ et les valeurs scolaires 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ avec l’approximation et la probabilité binomiale exacte des bornes entières. Les valeurs scolaires sont arrondies, les valeurs exactes sont 1,6449, 1,9600 et 2,5758 ; ainsi 1,64σ ne donne qu’environ 89,9 % et non « 90 % ».

Espérance, variance et écart type

Chaque loi affiche μ, σ² et σ. Ce qui n’existe pas est indiqué et non affiché comme « NaN » : la loi t n’a pas d’espérance pour au plus 1 degré de liberté et pas de variance finie pour au plus 2 ; la loi F a une espérance à partir de df₂ > 2 et une variance à partir de df₂ > 4.

Hypergéométrique

Statable désigne N (nombre total d’éléments), K (dont succès) et n (tirés sans remise), comme à l’école. R écrit phyper(q, m, n, k) avec m = K succès, n = N − K échecs et k = nombre tiré ; les noms diffèrent, le résultat non. Exemple du loto « 6 parmi 49 » : N = 49, K = 6, n = 6.

Pour les spécialistes

Densités d’après Loader (1999, comme dans R dbinom, dpois, dhyper), queues par sommation du mode vers l’extérieur, fonctions bêta et gamma par fractions continues, lois t et F par la fonction bêta. Les quantiles des lois continues concordent avec R à 1e-8 près en valeur relative, ceux des lois discrètes exactement. Vérifié par rapport à R et à PSPP ; exemples imprimés : table de la fonction de répartition binomiale n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), table de la loi normale centrée réduite.

Sources

• KMK (Conférence permanente des ministres de l’Éducation allemands) : standards de formation en mathématiques pour le baccalauréat allemand (Abitur, 2012), idée directrice « données et hasard » (loi binomiale, espérance et écart type de variables aléatoires discrètes, simulations).
• Lösungswege 8 (ÖBV, manuel autrichien), chapitres 5 à 7 : variables aléatoires continues, loi normale avec approximation de la loi binomiale.
• Formation des enseignants du Bade-Wurtemberg : loi binomiale et loi normale, condition de validité de l’approximation, correction de continuité.
• Loader, C. (2000) : Fast and accurate computation of binomial probabilities.