Calculul distribuțiilor: probabilitate, cuantilă, valoare așteptată

Pe scurt

Alegeți o distribuție, introduceți parametrii, puneți întrebarea: „cel mult (≤)”, „mai mic decât (<)”, „cel puțin (≥)”, „mai mare decât (>)”, „între a și b” sau „valoare pentru o probabilitate”. Rezultatul apare ca număr zecimal și în procente (0,0443 = 4,43%), ca propoziție și ca grafic cu zona colorată și hașurată sau cu barele hașurate.

Discret sau continuu

• La distribuțiile binomială, Poisson, hipergeometrică și proprii, X numără valori întregi. „Cel mult 5” nu este atunci același lucru cu „mai mic decât 5”: valoarea 5 are ea însăși o probabilitate proprie. Aceasta este cea mai frecventă greșeală școlară, de aceea Statable arată cele patru întrebări una sub alta.
• La distribuțiile normală, t, χ² și F, valorile individuale au probabilitatea 0. „Cel mult” și „mai mic decât” sunt acolo același lucru, la fel „cel puțin” și „mai mare decât”.

Cuantilă

Pentru distribuțiile discrete, cuantila este cea mai mică valoare x cu P(X ≤ x) ≥ p (definiția folosită de R). Statable arată probabilitatea atinsă efectiv, deoarece este de obicei puțin peste p, întrucât există doar valori întregi. Nu este regiunea critică a unui test: aceasta este determinată de placa „Înțelegerea testului pentru o proporție” după regula școlară.

Distribuție proprie

Introduceți într-un tabel valorile x și probabilitățile P(x), ca numere zecimale sau fracții (1/6). Statable calculează E(X) = Σ x · P(x) și Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Dacă suma nu este 1, nu se ajustează nimic pe tăcute: apare întrebarea dacă au fost folosite valori rotunjite, cu opțiunile „Scalați la 1” și „Păstrați ca atare”. E(X) este media pe termen lung, nu cea mai frecventă valoare.

Aproximarea normală a distribuției binomiale

• Curba normală cu μ = n · p și σ = √(n · p · (1 − p)) se află deasupra barelor. P(a ≤ X ≤ b) este afișată exact lângă aproximarea fără și cu corecție de continuitate. Corecția calculează de la a − ½ la b + ½, deoarece bara k se întinde de la k − ½ la k + ½; este mai exactă, unele școli calculează fără ea.
• Condiția de validitate a aproximării (Laplace condition): dacă σ este mai mare decât 3, aproximarea este considerată utilizabilă; altfel este grosieră. Simbolul ✓ sau ! stă lângă text, culoarea singură nu transmite nicio informație.
• Regula 68-95-99,7 (68-95-99.7 rule): tabelul arată 1σ, 2σ, 3σ și valorile școlare 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ cu aproximarea și probabilitatea binomială exactă a limitelor numere întregi. Valorile școlare sunt rotunjite, cele exacte sunt 1,6449, 1,9600 și 2,5758; astfel 1,64σ dă doar aproximativ 89,9% în loc de „90%”.

Valoarea așteptată, varianța și abaterea standard

Fiecare distribuție arată μ, σ² și σ. Ce nu există este menționat și nu este afișat ca „NaN”: distribuția t nu are valoare așteptată pentru cel mult 1 grad de libertate și nici varianță finită pentru cel mult 2; distribuția F are valoare așteptată de la df₂ > 2 și varianță de la df₂ > 4.

Hipergeometrică

Statable notează N (elemente în total), K (dintre care succese) și n (extrase fără înlocuire), ca la școală. R scrie phyper(q, m, n, k) cu m = K succese, n = N − K eșecuri și k = extrase; numele diferă, rezultatul nu. Exemplu loto „6 din 49”: N = 49, K = 6, n = 6.

Pentru specialiști

Densități după Loader (1999, ca în R dbinom, dpois, dhyper), cozi prin însumare de la mod spre exterior, funcții beta și gama cu fracții continue, distribuțiile t și F prin funcția beta. Cuantilele distribuțiilor continue coincid cu R până la 1e-8 relativ, cuantilele distribuțiilor discrete exact. Verificat în raport cu R și cu PSPP; exemple tipărite: tabelul funcției de distribuție binomiale n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabelul distribuției normale standard.

Surse

• KMK (Conferința Permanentă a Miniștrilor Educației din Germania): standarde educaționale pentru matematică pentru calificarea generală de admitere la universitate (2012), idee directoare „date și întâmplare” (distribuția binomială, valoarea așteptată și abaterea standard a variabilelor aleatorii discrete, simulări).
• Lösungswege 8 (ÖBV, manual austriac), capitolele 5-7: variabile aleatorii continue, distribuția normală cu aproximarea distribuției binomiale.
• Formarea profesorilor Baden-Württemberg: distribuția binomială și normală, condiția de validitate a aproximării (Laplace condition), corecția de continuitate.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.