Înțelegerea testului pentru o proporție: regiune critică (rejection region), α real, interval de predicție (prediction interval)

Pe scurt

Sub H₀, X are distribuție binomială cu n și p₀. Din nivelul de semnificație α, placa determină regiunea critică K, adică numerele de succese la care H₀ este respinsă. Exemplu n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, unilateral dreapta: K = {59, …, 100}. La cel puțin 59 de succese H₀ este respinsă.

Regiunea critică K și α real

• Unilateral dreapta (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} cu cel mai mic g pentru care P(X ≥ g) ≤ α. Unilateral stânga (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} cu cel mai mare k pentru care P(X ≤ k) ≤ α. Bilateral (H₁: p ≠ p₀): ambele părți cu câte α / 2.
• α real este probabilitatea cu care apare K sub H₀. Nu este niciodată peste α ales, dar este adesea sub el, deoarece X ia doar valori întregi (4,43% în loc de 5% în exemplu). Statable îl arată întotdeauna.
• Dacă K este gol, apare mesajul: „Cu acest n, H₀ nu poate fi respinsă niciodată la nivelul α.” Aceasta se întâmplă la n mic și α mic.

Valoarea p și decizia

Unilateral: p = P(X ≥ x) sau P(X ≤ x). Bilateral, Statable dublează valoarea unilaterală mai mică: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Astfel se aplică întotdeauna: x se află în K exact atunci când p ≤ α. Decizia și valoarea p nu se contrazic niciodată. R (binom.test) calculează bilateral altfel (suma tuturor probabilităților care sunt cel mult la fel de mari ca P(X = x)); pentru p₀ ≠ 0,5, valoarea p poate fi acolo mai mică. Exemplu n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: dublare 0,0041, binom.test 0,0033. Pentru p₀ = 0,5 cele două coincid.

Nerespingerea nu înseamnă că H₀ este adevărată

Dacă x nu se află în K, propoziția sună astfel: „Datele oferă prea puține dovezi că p diferă de p₀.” Nu este o dovadă că H₀ este adevărată. „Semnificativ statistic” are sens doar împreună cu nivelul la care este spus.

Eroarea de tip II și puterea testului

Eroarea de tip I: H₀ este respinsă deși este adevărată; probabilitatea ei este α real. Eroarea de tip II: H₀ nu este respinsă deși în realitate este valabilă o altă proporție p₁; probabilitatea ei este β = P(X ∉ K | p₁). Puterea testului 1 − β = P(X ∈ K | p₁) este probabilitatea de a găsi diferența. Exemplu n = 100, p₀ = 0,5, unilateral dreapta, p₁ = 0,6: β = 37,75%, puterea testului 62,25%.

Interval de predicție (prediction interval) sau interval de încredere?

Intervalul de predicție se aplică atunci când p este cunoscut: oferă intervalul [a; b] al numărului de succese care apare cu probabilitate de cel puțin 1 − α (inferență înainte). Este omologul lui K bilateral. Exemplu n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], deci proporții de la 0,40 la 0,60. Intervalul de încredere se aplică atunci când se observă x: oferă intervalul pentru p (inferență înapoi; placa „Calcul din statistici sumare”). Aproximarea sigma μ ± 1,96 σ este afișată alături, pentru comparație.

Pentru specialiști

Toate numerele sunt sume binomiale exacte. K este comparat cu α cu o toleranță de 1e-7 (ca în R la egalitate, de exemplu exact P = 0,05). Valoarea p bilaterală este metoda „centrală” (dublare); coincide cu intervalul Clopper-Pearson și este disponibilă în pachetul R exactci ca binom.exact(…, tsmethod = "central"). Verificat în raport cu R (qbinom, pbinom, dbinom) și cu o buclă peste toate regiunile critice, exemple tipărite: formarea profesorilor Baden-Württemberg (cipuri de memorie, zaruri, cantină).

Surse

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: standarde educaționale pentru matematică, calificarea generală de admitere la universitate (2012), idee directoare „date și întâmplare”; Lösungswege 8 (ÖBV, manual austriac), capitolul 7: test de ipoteză unilateral și bilateral cu distribuția binomială.
• Formarea profesorilor Baden-Württemberg: testarea ipotezelor (stohastică).