Förstå testet för en andel: förkastelseområde, faktiskt α, prediktionsintervall

Kort sagt

Under H₀ är X binomialfördelat med n och p₀. Utifrån signifikansnivån α bestämmer rutan förkastelseområdet K, alltså de antal träffar vid vilka H₀ förkastas. Exempel n = 100, p₀ = 0,5, α = 5 %, högersidigt: K = {59, …, 100}. Vid minst 59 träffar förkastas H₀.

Förkastelseområde K och faktiskt α

• Högersidigt (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} med det minsta g för vilket P(X ≥ g) ≤ α. Vänstersidigt (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} med det största k för vilket P(X ≤ k) ≤ α. Tvåsidigt (H₁: p ≠ p₀): båda sidorna med α / 2 vardera.
• Det faktiska α är sannolikheten med vilken K inträffar under H₀. Det är aldrig högre än det valda α, men ofta lägre, eftersom X bara antar heltalsvärden (4,43 % i stället för 5 % i exemplet). Statable visar det alltid.
• Om K är tom står det: ”Med detta n kan H₀ aldrig förkastas på nivån α.” Det händer vid litet n och litet α.

P-värde och beslut

Ensidigt, p = P(X ≥ x) eller P(X ≤ x). Tvåsidigt dubblar Statable det mindre ensidiga värdet: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Därmed gäller alltid att x ligger i K exakt när p ≤ α. Beslut och p-värde motsäger aldrig varandra. R (binom.test) räknar tvåsidigt på ett annat sätt (summan av alla sannolikheter som är högst lika stora som P(X = x)); för p₀ ≠ 0,5 kan p-värdet vara mindre där. Exempel n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: dubblering 0,0041, binom.test 0,0033. För p₀ = 0,5 är båda lika.

Att inte förkasta betyder inte att H₀ är sann

Om x inte ligger i K står det: ”Data ger för lite stöd för att p skiljer sig från p₀.” Det är inget bevis för att H₀ är sann. ”Signifikant” gäller bara tillsammans med den nivå på vilken det sägs.

Typ II-fel och styrka

Typ I-fel: H₀ förkastas fastän den är sann; dess sannolikhet är det faktiska α. Typ II-fel: H₀ förkastas inte fastän en annan andel p₁ egentligen gäller; dess sannolikhet är β = P(X ∉ K | p₁). Styrkan 1 − β = P(X ∈ K | p₁) är sannolikheten att hitta skillnaden. Exempel n = 100, p₀ = 0,5, högersidigt, p₁ = 0,6: β = 37,75 %, styrka 62,25 %.

Prediktionsintervall eller konfidensintervall?

Prediktionsintervallet gäller när p är känt: det anger intervallet [a; b] för antalet träffar som inträffar med sannolikheten minst 1 − α (slutsats framåt). Det är motsvarigheten till det tvåsidiga K. Exempel n = 100, p₀ = 0,5, 5 %: [40; 60], alltså andelar från 0,40 till 0,60. Konfidensintervallet gäller när x har observerats: det anger intervallet för p (slutsats bakåt; rutan ”Beräkna från sammanfattande tal”). Sigma-approximationen μ ± 1,96 σ visas bredvid som jämförelse.

För specialister

Alla tal är exakta binomialsummor. K jämförs med α med en tolerans på 1e-7 (som R gör vid likhet, till exempel P = 0,05 exakt). Det tvåsidiga p-värdet är den ”centrala” metoden (dubblering); det stämmer med Clopper-Pearson-intervallet och finns i R-paketet exactci som binom.exact(…, tsmethod = ”central”). Kontrollerat mot R (qbinom, pbinom, dbinom) och med en slinga över alla förkastelseområden, tryckta exempel: lärarutbildningen i Baden-Württemberg (minneskretsar, tärningar, matsal).

Källor

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: bildningsstandarder i matematik, allmän högskolebehörighet (Abitur, 2012), ledande idé ”data och slump”; Lösungswege 8 (ÖBV, österrikisk lärobok), kapitel 7: ensidigt och tvåsidigt hypotestest med binomialfördelningen.
• Lärarutbildningen i Baden-Württemberg: hypotesprövning (stokastik).